Subgroups — C₂²×#16863709 #31723555

Order 17152.

3006 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 298 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14524017	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16863709	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
3	C₂²×#14523976	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂²×#14523963	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂³×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×C₂²⋊D₆₇	—	2	1	no	—
9	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#14524017	—	2	6	no	—
11	C₂×#14524017	C₂²	1	12	yes	—
12	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	1	no	—
14	#16863709	C₂²	1	64	yes	direct product factor
15	C₂×#14523976	C₂²	1	24	yes	complemented
16	C₂×#14523963	C₂²	1	24	yes	complemented
17	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	12	yes	complemented
18	C₂⁴×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
19	C₂⁴×C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
21	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
22	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	12	yes	complemented
24	C₂⁴×D₆₇	—	2	1	no	—
25	C₂²×D₂₆₈	—	2	3	no	—
26	C₂²×D₂₆₈	—	2	8	no	—
27	C₂²×D₂₆₈	C₂³	1	6	yes	—
28	C₂²×C₂²⋊D₆₇	—	2	12	no	—
29	C₂²×C₂²⋊D₆₇	—	4	8	no	—
30	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
31	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
32	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
33	#14524017	—	2	24	no	—
34	#14524017	C₂³	1	16	yes	—
35	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	3	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	6	yes	—
37	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	12	no	—
38	#14523976	C₂³	1	32	yes	complemented
39	#14523963	C₂³	1	32	yes	complemented
40	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂³	1	16	yes	complemented
41	C₂⁵×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
43	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
45	C₂³×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
46	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	6	yes	—
48	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
49	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	24	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	12	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	16	yes	complemented
55	C₂³×D₆₇	—	2	6	no	—
56	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
57	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
58	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
59	C₂×D₂₆₈	—	2	24	no	—
60	C₂×D₂₆₈	—	2	6	no	—
61	C₂×D₂₆₈	—	4	12	no	—
62	C₂×D₂₆₈	C₂⁴	1	4	yes	—
63	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	16	no	—
64	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	4	48	no	—
65	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
66	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
67	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	24	no	—
68	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
69	C₄⋊Dic₆₇	—	2	6	no	—
70	C₄⋊Dic₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
71	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	16	no	—
72	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
73	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
74	C₂⁴×C₆₇	D₈	1	8	yes	—
75	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
76	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	24	no	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	24	no	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	48	no	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
84	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
85	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	12	yes	—
86	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
87	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	8	yes	—
88	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	3	yes	—
90	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
91	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
92	C₄⋊C₄×C₆₇	C₂⁴	1	8	yes	—
93	C₂³×C₆₇	—	2	12	no	—
94	C₂³×C₆₇	—	2	12	no	—
95	C₂³×C₆₇	—	2	32	no	—
96	C₂³×C₆₇	#123	1	4	yes	—
97	C₂³×C₆₇	C₂×D₈	1	24	yes	—
98	C₂³×C₆₇	C₂×D₈	1	4	yes	—
99	C₂³×C₆₇	#137	1	4	yes	—
100	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
101	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
102	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
104	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
105	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
106	C₂²×D₆₇	—	8	16	no	—
107	C₂×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
108	C₂×C₄×C₆₇	—	2	24	no	—
109	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄×C₆₇	—	4	32	no	—
112	C₂×C₄×C₆₇	—	4	24	no	—
113	C₂×C₄×C₆₇	#123	1	12	yes	—
114	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
115	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
116	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	12	yes	—
117	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
118	C₂²⋊D₆₇	—	4	32	no	—
119	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
120	C₂×Dic₆₇	—	4	12	no	—
121	D₂₆₈	—	2	8	no	—
122	D₂₆₈	—	4	12	no	—
123	C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₆₇	—	2	48	no	—
125	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₆₇	#480	1	16	yes	complemented
128	C₂²×C₆₇	C₂×#123	1	6	yes	—
129	C₂²×C₆₇	C₂²×D₈	1	8	yes	—
130	C₂²×C₆₇	C₂²×D₈	1	6	yes	—
131	C₂²×C₆₇	C₂×#137	1	6	yes	—
132	C₂²×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
134	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
135	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
136	C₂×D₆₇	—	8	24	no	—
137	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
138	C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
139	C₄×C₆₇	C₂×#123	1	6	yes	—
140	C₄×C₆₇	C₂²×#41	1	2	yes	—
141	Dic₆₇	—	4	4	no	—
142	C₂²×#480	—	67	1	no	maximal, Sylow
143	C₂×C₆₇	—	2	8	no	—
144	C₂×C₆₇	C₂×#480	1	12	yes	complemented
145	C₂×C₆₇	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₆₇	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₆₇	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
148	D₆₇	—	8	4	no	—
149	C₂²×#121	—	67	1	no	—
150	C₂³×C₄⋊C₄	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
151	C₂×#480	—	67	24	no	—
152	C₂²×#107	—	67	2	no	—
153	C₂²×#102	—	67	2	no	—
154	C₂²×C₂²⋊C₈	—	67	1	no	—
155	C₆₇	C₂²×#480	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
156	C₂³×D₄	—	67	1	no	—
157	C₂³×D₄	—	134	1	no	—
158	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂⁴×C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
160	C₂³×C₈	—	67	2	no	—
161	C₂×#121	—	67	12	no	—
162	C₂×#121	—	134	6	no	—
163	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
164	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
166	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	1	12	yes	complemented
168	C₂²×C₂²⋊C₄	—	134	1	no	—
169	#480	—	67	64	no	—
170	C₂×#107	—	67	24	no	—
171	C₂×#102	—	67	24	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	12	no	—
173	C₂⁵	—	134	1	no	—
174	C₂⁵	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×D₄	—	268	8	no	—
176	C₂²×D₄	—	67	6	no	—
177	C₂²×D₄	—	134	12	no	—
178	C₂²×D₄	—	134	3	no	—
179	C₂²×D₄	—	134	8	no	—
180	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
182	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
184	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
185	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
186	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
187	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
188	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₈	—	67	12	no	—
190	C₂²×C₈	—	134	8	no	—
191	#121	—	67	16	no	—
192	#121	—	134	24	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	67	6	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	134	3	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	12	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	16	yes	complemented
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	12	no	—
201	#107	—	67	32	no	—
202	#102	—	67	32	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	67	16	no	—
204	C₂⁴	—	2	4	no	—
205	C₂⁴	—	2	4	no	—
206	C₂⁴	—	268	4	no	—
207	C₂⁴	—	268	4	no	—
208	C₂⁴	—	268	4	no	—
209	C₂⁴	—	134	6	no	—
210	C₂⁴	#11761613	1	8	yes	—
211	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
212	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
213	C₂×D₄	—	268	48	no	—
214	C₂×D₄	—	268	12	no	—
215	C₂×D₄	—	67	4	no	—
216	C₂×D₄	—	134	16	no	—
217	C₂×D₄	—	134	6	no	—
218	C₂×D₄	—	134	24	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	12	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
231	C₂²×C₄	#11761628	1	8	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	3	yes	—
234	C₂×C₈	—	67	8	no	—
235	C₂×C₈	—	134	24	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
238	C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	134	6	no	—
240	C₄⋊C₄	C₂³×D₆₇	1	8	yes	—
241	C₂²⋊C₄	—	134	16	no	—
242	C₂³	—	2	12	no	—
243	C₂³	—	2	12	no	—
244	C₂³	—	2	32	no	—
245	C₂³	—	268	12	no	—
246	C₂³	—	268	12	no	—
247	C₂³	—	268	12	no	—
248	C₂³	—	536	16	no	—
249	C₂³	—	134	4	no	—
250	C₂³	#14524026	1	4	yes	—
251	C₂³	C₂×#11761613	1	24	yes	—
252	C₂³	C₂×#11761613	1	4	yes	—
253	C₂³	#14524074	1	4	yes	—
254	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
255	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
256	D₄	—	268	32	no	—
257	D₄	—	268	12	no	—
258	D₄	—	134	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	12	no	—
260	C₂×C₄	—	2	24	no	—
261	C₂×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	4	32	no	—
264	C₂×C₄	—	4	24	no	—
265	C₂×C₄	—	268	12	no	—
266	C₂×C₄	—	134	4	no	—
267	C₂×C₄	#14524026	1	12	yes	—
268	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×#11761628	1	12	yes	—
271	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
272	C₈	—	134	8	no	—
273	C₂²	—	2	48	no	—
274	C₂²	—	2	4	no	—
275	C₂²	—	2	4	no	—
276	C₂²	—	268	4	no	—
277	C₂²	—	268	4	no	—
278	C₂²	—	268	4	no	—
279	C₂²	—	536	24	no	—
280	C₂²	#16863709	1	16	yes	direct product factor
281	C₂²	C₂×#14524026	1	6	yes	—
282	C₂²	C₂²×#11761613	1	8	yes	—
283	C₂²	C₂²×#11761613	1	6	yes	—
284	C₂²	C₂×#14524074	1	6	yes	—
285	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
286	C₄	—	2	4	no	—
287	C₄	—	4	8	no	—
288	C₄	—	268	4	no	—
289	C₄	C₂×#14524026	1	6	yes	—
290	C₄	C₂²×#11761628	1	2	yes	—
291	C₂	—	2	8	no	—
292	C₂	—	536	4	no	—
293	C₂	C₂×#16863709	1	12	yes	direct product factor
294	C₂	C₂²×#14524026	1	1	yes	characteristic
295	C₂	C₂³×#11761613	1	1	yes	characteristic
296	C₂	C₂²×#14524074	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇
Fitting	C₂³×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂
socle	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
prime radical	C₂²×#14524017	C₂
hypercenter	C₂³×C₄⋊C₄	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂²×#480
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ C₂³×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16863709	C₂	direct (N × H)
3. C₂²×#14523976	C₂	semidirect
4. C₂²×#14523963	C₂	semidirect
5. C₂²×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	semidirect
6. C₂³×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂	semidirect
14. #16863709	C₂²	direct (N × H)
15. C₂×#14523976	C₂²	semidirect
16. C₂×#14523963	C₂²	semidirect
17. C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	semidirect
23. C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	semidirect
38. #14523976	C₂³	semidirect
39. #14523963	C₂³	semidirect
40. C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂³	semidirect
54. C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	semidirect
127. C₂²×C₆₇	#480	semidirect
144. C₂×C₆₇	C₂×#480	semidirect
150. C₂³×C₄⋊C₄	D₆₇	semidirect
155. C₆₇	C₂²×#480	semidirect
167. C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	semidirect
199. C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	semidirect
280. C₂²	#16863709	direct (N × H)
293. C₂	C₂×#16863709	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14524017	2
C₂×#16863709	2
C₂²×#14523976	2
C₂²×#14523963	2
C₂²×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	2
C₂³×C₄⋊C₄×C₆₇	2
C₂²×#480	67

Subgroups — C22×#16863709 #31723555

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16863709 #31723555