Subgroups — C₂²×#16863724 #31723559

Order 17152.

2662 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 274 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄⋊Dic₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16863724	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
3	C₂²×#14523974	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂²×#14523967	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂²×C₂²⋊Q₈×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂⁴×Dic₆₇	—	2	1	no	—
8	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
10	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	—	2	6	no	—
11	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	12	yes	—
13	#16863724	C₂²	1	64	yes	direct product factor
14	C₂×#14523974	C₂²	1	24	yes	complemented
15	C₂×#14523967	C₂²	1	24	yes	complemented
16	C₂×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂²	1	12	yes	—
17	C₂³×Q₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₂²⋊Q₈×C₆₇	—	2	6	no	—
20	C₂×C₂²⋊Q₈×C₆₇	C₂²	1	12	yes	—
21	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
22	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
24	C₂³×Dic₆₇	—	2	12	no	—
25	C₂³×Dic₆₇	—	2	2	no	—
26	C₂³×Dic₆₇	—	4	8	no	—
27	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
28	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
29	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	12	no	—
30	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	24	no	—
31	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	6	no	—
32	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	12	yes	—
33	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	16	yes	—
34	#14523974	C₂³	1	32	yes	complemented
35	#14523967	C₂³	1	32	yes	complemented
36	C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	C₂³	1	16	yes	—
37	C₂⁵×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×Q₈×C₆₇	—	2	3	no	—
39	C₂²×Q₈×C₆₇	—	2	8	no	—
40	C₂²×Q₈×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
41	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
42	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
43	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
44	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	6	yes	—
46	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
47	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²⋊Q₈×C₆₇	—	2	24	no	—
49	C₂²⋊Q₈×C₆₇	C₂³	1	16	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	3	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
54	C₂²×Dic₆₇	—	2	16	no	—
55	C₂²×Dic₆₇	—	2	12	no	—
56	C₂²×Dic₆₇	—	4	48	no	—
57	C₂²×Dic₆₇	—	4	8	no	—
58	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	24	no	—
59	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
60	C₄⋊Dic₆₇	—	2	16	no	—
61	C₄⋊Dic₆₇	—	2	12	no	—
62	C₄⋊Dic₆₇	C₂⁴	1	8	yes	—
63	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
64	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
65	C₂⁴×C₆₇	SD₁₆	1	8	yes	—
66	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
67	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	6	no	—
69	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	24	no	—
70	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	12	no	—
71	C₂×Q₈×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	24	no	—
74	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	24	no	—
75	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
76	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
77	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	12	yes	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	8	yes	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	3	yes	—
85	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
86	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
87	C₄⋊C₄×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
88	C₂²⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
89	C₂³×C₆₇	—	2	12	no	—
90	C₂³×C₆₇	—	2	12	no	—
91	C₂³×C₆₇	—	2	32	no	—
92	C₂³×C₆₇	#123	1	4	yes	—
93	C₂³×C₆₇	C₂×SD₁₆	1	24	yes	—
94	C₂³×C₆₇	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
95	C₂³×C₆₇	#137	1	4	yes	—
96	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
97	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
98	Q₈×C₆₇	—	2	8	no	—
99	Q₈×C₆₇	—	4	12	no	—
100	C₂×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
101	C₂×C₄×C₆₇	—	2	24	no	—
102	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
103	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄×C₆₇	—	4	12	no	—
106	C₂×C₄×C₆₇	—	4	12	no	—
107	C₂×C₄×C₆₇	#123	1	12	yes	—
108	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
109	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
110	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	12	yes	—
111	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
112	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
113	C₂×Dic₆₇	—	4	32	no	—
114	C₂×Dic₆₇	—	4	24	no	—
115	C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₆₇	—	2	48	no	—
117	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₆₇	#483	1	16	yes	complemented
120	C₂²×C₆₇	C₂×#123	1	6	yes	—
121	C₂²×C₆₇	C₂²×SD₁₆	1	8	yes	—
122	C₂²×C₆₇	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
123	C₂²×C₆₇	C₂×#137	1	6	yes	—
124	C₂²×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
126	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
127	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
128	C₄×C₆₇	C₂×#123	1	6	yes	—
129	C₄×C₆₇	C₂²×#41	1	2	yes	—
130	Dic₆₇	—	4	8	no	—
131	C₂²×#483	—	67	1	no	maximal, Sylow
132	C₂×C₆₇	—	2	8	no	—
133	C₂×C₆₇	C₂×#483	1	12	yes	complemented
134	C₂×C₆₇	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₆₇	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₆₇	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₂²⋊Q₈	D₆₇	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
139	C₂×#483	—	67	24	no	—
140	C₂²×#106	—	67	2	no	—
141	C₂²×#103	—	67	2	no	—
142	C₂²×C₂²⋊C₈	—	67	1	no	—
143	C₆₇	C₂²×#483	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
144	C₂³×Q₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
145	C₂⁴×C₄	—	134	1	no	—
146	C₂⁴×C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₈	—	67	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
149	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×D₆₇	1	12	yes	—
150	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	12	no	—
152	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
153	C₂²×C₄⋊C₄	—	134	6	no	—
154	C₂²×C₄⋊C₄	—	134	1	no	—
155	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
157	#483	—	67	64	no	—
158	C₂×#106	—	67	24	no	—
159	C₂×#103	—	67	24	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₈	—	67	12	no	—
161	C₂⁵	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
163	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
164	C₂²×Q₈	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
165	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂³×C₄	—	268	8	no	—
169	C₂³×C₄	—	134	12	no	—
170	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
171	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
172	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
173	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
174	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	—	67	12	no	—
176	C₂²×C₈	—	134	8	no	—
177	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
178	C₂²⋊Q₈	C₂²×D₆₇	1	16	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	67	12	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	67	16	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	134	12	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	134	24	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	134	6	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
188	#106	—	67	32	no	—
189	#103	—	67	32	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	67	16	no	—
191	C₂⁴	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	—	2	4	no	—
193	C₂⁴	#11761615	1	8	yes	—
194	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
195	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
196	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
199	C₂×Q₈	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	268	48	no	—
208	C₂²×C₄	—	268	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	134	16	no	—
210	C₂²×C₄	—	134	12	no	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	12	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
214	C₂²×C₄	#11761627	1	8	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	3	yes	—
217	C₂×C₈	—	67	8	no	—
218	C₂×C₈	—	134	24	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
221	C₄⋊C₄	—	67	8	no	—
222	C₄⋊C₄	—	134	16	no	—
223	C₄⋊C₄	—	134	12	no	—
224	C₄⋊C₄	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
226	C₂³	—	2	12	no	—
227	C₂³	—	2	12	no	—
228	C₂³	—	2	32	no	—
229	C₂³	#14524024	1	4	yes	—
230	C₂³	C₂×#11761615	1	24	yes	—
231	C₂³	C₂×#11761615	1	4	yes	—
232	C₂³	#14524073	1	4	yes	—
233	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
234	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
235	Q₈	—	2	8	no	—
236	Q₈	—	4	12	no	—
237	C₂×C₄	—	2	12	no	—
238	C₂×C₄	—	2	24	no	—
239	C₂×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	4	12	no	—
243	C₂×C₄	—	4	12	no	—
244	C₂×C₄	—	268	32	no	—
245	C₂×C₄	—	268	24	no	—
246	C₂×C₄	—	134	8	no	—
247	C₂×C₄	#14524024	1	12	yes	—
248	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	12	yes	—
251	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
252	C₈	—	134	8	no	—
253	C₂²	—	2	4	no	—
254	C₂²	—	2	48	no	—
255	C₂²	—	2	4	no	—
256	C₂²	#16863724	1	16	yes	direct product factor
257	C₂²	C₂×#14524024	1	6	yes	—
258	C₂²	C₂²×#11761615	1	8	yes	—
259	C₂²	C₂²×#11761615	1	6	yes	—
260	C₂²	C₂×#14524073	1	6	yes	—
261	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
262	C₄	—	2	4	no	—
263	C₄	—	4	4	no	—
264	C₄	—	4	4	no	—
265	C₄	—	268	8	no	—
266	C₄	C₂×#14524024	1	6	yes	—
267	C₄	C₂²×#11761627	1	2	yes	—
268	C₂	—	2	8	no	—
269	C₂	C₂×#16863724	1	12	yes	direct product factor
270	C₂	C₂²×#14524024	1	1	yes	characteristic
271	C₂	C₂³×#11761615	1	1	yes	characteristic
272	C₂	C₂²×#14524073	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇
Fitting	C₂²×C₂²⋊Q₈×C₆₇	C₂
socle	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
prime radical	C₂⁵×C₆₇	D₄
hypercenter	C₂²×C₂²⋊Q₈	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂²×#483
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ C₂²×C₂²⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16863724	C₂	direct (N × H)
3. C₂²×#14523974	C₂	semidirect
4. C₂²×#14523967	C₂	semidirect
13. #16863724	C₂²	direct (N × H)
14. C₂×#14523974	C₂²	semidirect
15. C₂×#14523967	C₂²	semidirect
34. #14523974	C₂³	semidirect
35. #14523967	C₂³	semidirect
119. C₂²×C₆₇	#483	semidirect
133. C₂×C₆₇	C₂×#483	semidirect
143. C₆₇	C₂²×#483	semidirect
256. C₂²	#16863724	direct (N × H)
269. C₂	C₂×#16863724	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄⋊Dic₆₇	2
C₂×#16863724	2
C₂²×#14523974	2
C₂²×#14523967	2
C₂²×C₂²⋊(C₆₇⋊C₈)	2
C₂²×C₂²⋊Q₈×C₆₇	2
C₂²×#483	67

Subgroups — C22×#16863724 #31723559

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16863724 #31723559