Subgroups — C₂²×#16863721 #31723569

Order 17152.

2702 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14524017	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#14524002	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16863721	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#14523977	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#14523975	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#14523965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#14523965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₂²⋊D₆₇	—	2	1	no	—
11	C₂×#14524017	—	2	6	no	—
12	C₂×#14524017	C₂²	1	12	yes	—
13	C₂×#14524002	—	2	6	no	—
14	C₂×#14524002	C₂²	1	12	yes	complemented
15	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
19	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₄×Dic₆₇	—	2	1	no	—
21	#16863721	C₂²	1	64	yes	direct product factor
22	C₂×#14523977	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂×#14523975	C₂²	1	12	yes	complemented
24	C₂×#14523965	C₂²	1	12	yes	complemented
25	C₂×#14523965	C₂²	1	12	yes	complemented
26	C₂⁴×C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	12	yes	complemented
30	C₂⁴×D₆₇	—	2	1	no	—
31	C₂²×D₂₆₈	—	2	3	no	—
32	C₂²×D₂₆₈	—	2	4	no	—
33	C₂²×D₂₆₈	—	2	4	no	—
34	C₂²×D₂₆₈	C₂³	1	6	yes	—
35	C₂²×C₂²⋊D₆₇	—	2	12	no	—
36	C₂²×C₂²⋊D₆₇	—	4	8	no	—
37	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
38	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
39	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
40	#14524017	—	2	24	no	—
41	#14524017	C₂³	1	16	yes	—
42	#14524002	—	2	24	no	—
43	#14524002	C₂³	1	16	yes	complemented
44	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	3	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	3	no	—
46	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	3	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	6	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	6	yes	—
49	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	12	no	—
51	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	12	no	—
52	C₂×C₄×Dic₆₇	—	2	12	no	—
53	#14523977	C₂³	1	16	yes	complemented
54	#14523975	C₂³	1	16	yes	complemented
55	#14523965	C₂³	1	16	yes	complemented
56	#14523965	C₂³	1	16	yes	complemented
57	C₂⁵×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
59	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
60	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	6	yes	—
62	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
68	C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂³	1	16	yes	complemented
69	C₂³×D₆₇	—	2	6	no	—
70	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
71	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
72	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
73	C₂×D₂₆₈	—	2	12	no	—
74	C₂×D₂₆₈	—	2	12	no	—
75	C₂×D₂₆₈	—	2	6	no	—
76	C₂×D₂₆₈	—	4	12	no	—
77	C₂×D₂₆₈	C₂⁴	1	4	yes	—
78	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	16	no	—
79	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	4	48	no	—
80	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
81	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
82	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
83	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
84	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
85	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
86	C₄⋊Dic₆₇	—	2	6	no	—
87	C₄⋊Dic₆₇	—	2	6	no	—
88	C₄⋊Dic₆₇	—	2	6	no	—
89	C₄⋊Dic₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
90	C₄⋊Dic₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
91	C₄⋊Dic₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
92	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	16	no	—
93	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	16	no	—
94	C₄×Dic₆₇	—	2	16	no	—
95	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
96	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
97	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
98	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
99	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	24	no	—
102	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
103	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
104	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
105	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	12	yes	—
106	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
107	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
108	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	4	yes	—
109	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
110	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	3	yes	—
111	C₂×C₈×C₆₇	—	2	12	no	—
112	C₂×C₈×C₆₇	—	2	12	no	—
113	C₂×C₈×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
114	C₂×C₈×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
115	C₂³×C₆₇	—	2	12	no	—
116	C₂³×C₆₇	—	2	12	no	—
117	C₂³×C₆₇	—	2	12	no	—
118	C₂³×C₆₇	—	4	16	no	—
119	C₂³×C₆₇	#123	1	4	yes	—
120	C₂³×C₆₇	#135	1	4	yes	—
121	C₂³×C₆₇	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
122	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
123	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
124	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
126	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
127	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
128	C₂²×D₆₇	—	8	16	no	—
129	C₂×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
130	C₂×C₄×C₆₇	—	2	24	no	—
131	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₆₇	#123	1	12	yes	—
134	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
136	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	6	yes	—
137	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	6	yes	—
138	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
139	C₂²⋊D₆₇	—	4	32	no	—
140	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
141	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
142	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
143	C₂×Dic₆₇	—	4	12	no	—
144	C₂×Dic₆₇	—	4	12	no	—
145	C₂×Dic₆₇	—	4	12	no	—
146	D₂₆₈	—	2	4	no	—
147	D₂₆₈	—	2	4	no	—
148	D₂₆₈	—	4	12	no	—
149	C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
150	C₈×C₆₇	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₆₇	—	4	24	no	—
155	C₂²×C₆₇	#482	1	16	yes	complemented
156	C₂²×C₆₇	C₂×#123	1	6	yes	—
157	C₂²×C₆₇	C₂×#135	1	6	yes	—
158	C₂²×C₆₇	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
159	C₂²×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
161	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
162	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
163	C₂×D₆₇	—	8	24	no	—
164	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
165	C₄×C₆₇	C₂×#123	1	6	yes	—
166	C₄×C₆₇	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₆₇	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
168	Dic₆₇	—	4	4	no	—
169	Dic₆₇	—	4	4	no	—
170	Dic₆₇	—	4	4	no	—
171	C₂²×#482	—	67	1	no	maximal, Sylow
172	C₂×C₆₇	—	4	4	no	—
173	C₂×C₆₇	C₂×#482	1	12	yes	complemented
174	C₂×C₆₇	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₆₇	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₆₇	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
177	D₆₇	—	8	4	no	—
178	C₂²×#121	—	67	1	no	—
179	C₂²×#117	—	67	1	no	—
180	C₂×#482	—	67	24	no	—
181	C₂²×#107	—	67	1	no	—
182	C₂²×#106	—	67	1	no	—
183	C₂²×#102	—	67	1	no	—
184	C₂²×#102	—	67	1	no	—
185	C₂²×C₂²⋊C₈	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
186	C₆₇	C₂²×#482	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
187	C₂³×D₄	—	67	1	no	—
188	C₂³×D₄	—	134	1	no	—
189	C₂⁴×C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
190	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
191	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
192	C₂×#121	—	67	12	no	—
193	C₂×#121	—	134	6	no	—
194	C₂×#117	—	67	12	no	—
195	C₂×#117	—	134	6	no	—
196	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
197	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
198	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
199	C₂²×C₂²⋊C₄	—	134	1	no	—
200	C₂²×C₂²⋊C₄	—	134	1	no	—
201	C₂²×C₄²	—	134	1	no	—
202	#482	—	67	64	no	—
203	C₂×#107	—	67	12	no	—
204	C₂×#106	—	67	12	no	—
205	C₂×#102	—	67	12	no	—
206	C₂×#102	—	67	12	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₆₇	1	12	yes	complemented
208	C₂⁵	—	134	1	no	—
209	C₂⁵	D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×D₄	—	268	8	no	—
211	C₂²×D₄	—	67	6	no	—
212	C₂²×D₄	—	134	12	no	—
213	C₂²×D₄	—	134	3	no	—
214	C₂²×D₄	—	134	4	no	—
215	C₂²×D₄	—	134	4	no	—
216	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
219	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
220	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
221	C₂³×C₄	D₂₆₈	1	6	yes	—
222	C₂³×C₄	D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
224	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
228	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
229	#121	—	67	16	no	—
230	#121	—	134	24	no	—
231	#117	—	67	16	no	—
232	#117	—	134	24	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	67	6	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	67	6	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	67	6	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	134	3	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	134	3	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	134	3	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	12	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	12	no	—
241	C₂×C₄²	—	134	12	no	—
242	#107	—	67	16	no	—
243	#106	—	67	16	no	—
244	#102	—	67	16	no	—
245	#102	—	67	16	no	—
246	C₂²⋊C₈	C₂²×D₆₇	1	16	yes	complemented
247	C₂⁴	—	2	4	no	—
248	C₂⁴	—	2	4	no	—
249	C₂⁴	—	2	4	no	—
250	C₂⁴	—	268	4	no	—
251	C₂⁴	—	268	4	no	—
252	C₂⁴	—	268	4	no	—
253	C₂⁴	—	134	6	no	—
254	C₂⁴	C₂×D₂₆₈	1	6	yes	—
255	C₂⁴	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
256	C₂×D₄	—	268	48	no	—
257	C₂×D₄	—	268	12	no	—
258	C₂×D₄	—	67	4	no	—
259	C₂×D₄	—	134	16	no	—
260	C₂×D₄	—	134	6	no	—
261	C₂×D₄	—	134	12	no	—
262	C₂×D₄	—	134	12	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
267	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
271	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
272	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
273	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	6	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	12	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	3	yes	—
276	C₂²×C₄	#11761627	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	#11761627	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	3	yes	—
280	C₂×C₈	—	2	12	no	—
281	C₂×C₈	—	2	12	no	—
282	C₂×C₈	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
283	C₂×C₈	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	134	6	no	—
288	C₄⋊C₄	—	134	6	no	—
289	C₄⋊C₄	—	134	6	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	134	16	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	134	16	no	—
292	C₄²	—	134	16	no	—
293	C₂³	—	2	12	no	—
294	C₂³	—	2	12	no	—
295	C₂³	—	2	12	no	—
296	C₂³	—	4	16	no	—
297	C₂³	—	268	12	no	—
298	C₂³	—	268	12	no	—
299	C₂³	—	268	12	no	—
300	C₂³	—	536	16	no	—
301	C₂³	—	134	4	no	—
302	C₂³	#14524027	1	4	yes	—
303	C₂³	#14524065	1	4	yes	—
304	C₂³	#14524071	1	4	yes	—
305	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	4	yes	—
306	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	3	yes	—
307	D₄	—	268	32	no	—
308	D₄	—	268	12	no	—
309	D₄	—	134	4	no	—
310	D₄	—	134	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	12	no	—
312	C₂×C₄	—	2	24	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	268	12	no	—
316	C₂×C₄	—	268	12	no	—
317	C₂×C₄	—	268	12	no	—
318	C₂×C₄	—	134	4	no	—
319	C₂×C₄	—	134	4	no	—
320	C₂×C₄	—	134	4	no	—
321	C₂×C₄	#14524027	1	12	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	3	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	6	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	6	yes	—
326	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	2	4	no	—
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	4	24	no	—
333	C₂²	—	268	4	no	—
334	C₂²	—	268	4	no	—
335	C₂²	—	268	4	no	—
336	C₂²	—	536	24	no	—
337	C₂²	#16863721	1	16	yes	direct product factor
338	C₂²	C₂×#14524027	1	6	yes	—
339	C₂²	C₂×#14524065	1	6	yes	—
340	C₂²	C₂×#14524071	1	6	yes	—
341	C₂²	C₂³×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	268	4	no	—
344	C₄	—	268	4	no	—
345	C₄	—	268	4	no	—
346	C₄	C₂×#14524027	1	6	yes	—
347	C₄	C₂²×#11761627	1	1	yes	characteristic
348	C₄	C₂²×#11761627	1	1	yes	characteristic
349	C₂	—	4	4	no	—
350	C₂	—	536	4	no	—
351	C₂	C₂×#16863721	1	12	yes	direct product factor
352	C₂	C₂²×#14524027	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂²×#14524065	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₂²×#14524071	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×D₂₆₈
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇
Fitting	C₂²×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂
socle	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
prime radical	C₂²×#14524017	C₂
hypercenter	C₂²×C₂²⋊C₈	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂²×#482
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ C₂²×C₂²⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#14524002	C₂	semidirect
3. C₂×#16863721	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#14523977	C₂	semidirect
5. C₂²×#14523975	C₂	semidirect
6. C₂²×#14523965	C₂	semidirect
7. C₂²×#14523965	C₂	semidirect
8. C₂²×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂	semidirect
14. C₂×#14524002	C₂²	semidirect
21. #16863721	C₂²	direct (N × H)
22. C₂×#14523977	C₂²	semidirect
23. C₂×#14523975	C₂²	semidirect
24. C₂×#14523965	C₂²	semidirect
25. C₂×#14523965	C₂²	semidirect
29. C₂×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂²	semidirect
43. #14524002	C₂³	semidirect
53. #14523977	C₂³	semidirect
54. #14523975	C₂³	semidirect
55. #14523965	C₂³	semidirect
56. #14523965	C₂³	semidirect
68. C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂³	semidirect
155. C₂²×C₆₇	#482	semidirect
173. C₂×C₆₇	C₂×#482	semidirect
185. C₂²×C₂²⋊C₈	D₆₇	semidirect
186. C₆₇	C₂²×#482	semidirect
207. C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₆₇	semidirect
246. C₂²⋊C₈	C₂²×D₆₇	semidirect
337. C₂²	#16863721	direct (N × H)
351. C₂	C₂×#16863721	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14524017	2
C₂²×#14524002	2
C₂×#16863721	2
C₂²×#14523977	2
C₂²×#14523975	2
C₂²×#14523965	2
C₂²×C₂²⋊C₈×C₆₇	2
C₂²×#482	67

Subgroups — C22×#16863721 #31723569

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16863721 #31723569