Subgroups — C₂²×#16863732 #31723590

Order 17152.

2662 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 274 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14524022	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×C₄⋊Dic₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16863732	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#14523977	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#14523968	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂³×Dic₁₃₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂⁴×Dic₆₇	—	2	1	no	—
9	C₂×#14524022	—	2	6	no	—
10	C₂×#14524022	C₂²	1	12	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
12	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	—	2	6	no	—
13	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	12	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×Dic₆₇⋊C₄	—	2	1	no	—
17	C₂²×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	1	no	—
18	#16863732	C₂²	1	64	yes	direct product factor
19	C₂×#14523977	C₂²	1	24	yes	complemented
20	C₂×#14523968	C₂²	1	24	yes	complemented
21	C₂⁴×C₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	12	yes	—
24	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	3	no	—
25	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
26	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	6	yes	—
27	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
28	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
29	C₂³×Dic₆₇	—	2	12	no	—
30	C₂³×Dic₆₇	—	2	2	no	—
31	C₂³×Dic₆₇	—	4	8	no	—
32	#14524022	—	2	24	no	—
33	#14524022	C₂³	1	16	yes	—
34	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	12	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	24	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	6	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	3	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	12	yes	—
39	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	16	yes	—
40	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	6	yes	—
41	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	12	no	—
42	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	12	no	—
43	#14523977	C₂³	1	32	yes	complemented
44	#14523968	C₂³	1	32	yes	complemented
45	C₂⁵×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
47	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	6	yes	—
49	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
52	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	12	yes	—
53	C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂³	1	16	yes	—
54	C₂×Dic₁₃₄	—	2	24	no	—
55	C₂×Dic₁₃₄	—	2	6	no	—
56	C₂×Dic₁₃₄	—	4	12	no	—
57	C₂×Dic₁₃₄	C₂⁴	1	4	yes	—
58	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
59	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
60	C₂²×Dic₆₇	—	2	16	no	—
61	C₂²×Dic₆₇	—	2	12	no	—
62	C₂²×Dic₆₇	—	4	48	no	—
63	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
64	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
65	C₂²×Dic₆₇	—	4	8	no	—
66	C₄⋊Dic₆₇	—	2	16	no	—
67	C₄⋊Dic₆₇	—	2	12	no	—
68	C₄⋊Dic₆₇	—	2	6	no	—
69	C₄⋊Dic₆₇	C₂⁴	1	8	yes	—
70	C₄⋊Dic₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
71	Dic₆₇⋊C₄	—	2	16	no	—
72	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	16	no	—
73	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
74	C₂⁴×C₆₇	—	2	4	no	—
75	C₂⁴×C₆₇	Q₁₆	1	8	yes	—
76	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
77	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	24	no	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	24	no	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	12	yes	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
84	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	8	yes	—
85	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	3	yes	—
87	C₂×C₈×C₆₇	—	2	24	no	—
88	C₂×C₈×C₆₇	C₂⁴	1	8	yes	—
89	C₂³×C₆₇	—	2	12	no	—
90	C₂³×C₆₇	—	2	12	no	—
91	C₂³×C₆₇	—	2	32	no	—
92	C₂³×C₆₇	#123	1	4	yes	—
93	C₂³×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	24	yes	—
94	C₂³×C₆₇	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
95	C₂³×C₆₇	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
96	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
97	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
98	C₂×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
99	C₂×C₄×C₆₇	—	2	24	no	—
100	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄×C₆₇	#123	1	12	yes	—
102	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
103	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
104	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	12	yes	—
105	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
106	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
107	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
108	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
109	C₂×Dic₆₇	—	4	32	no	—
110	C₂×Dic₆₇	—	4	12	no	—
111	C₂×Dic₆₇	—	4	12	no	—
112	C₂×Dic₆₇	—	4	24	no	—
113	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
114	Dic₁₃₄	—	4	12	no	—
115	C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₆₇	—	2	48	no	—
117	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₆₇	#484	1	16	yes	complemented
120	C₂²×C₆₇	C₂×#123	1	6	yes	—
121	C₂²×C₆₇	C₂²×Q₁₆	1	8	yes	—
122	C₂²×C₆₇	C₂²×Q₁₆	1	6	yes	—
123	C₂²×C₆₇	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
124	C₂²×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
126	C₄×C₆₇	C₂×#123	1	6	yes	—
127	C₄×C₆₇	C₂²×#41	1	2	yes	—
128	Dic₆₇	—	4	4	no	—
129	Dic₆₇	—	4	4	no	—
130	Dic₆₇	—	4	8	no	—
131	C₂²×#484	—	67	1	no	maximal, Sylow
132	C₂×C₆₇	—	2	8	no	—
133	C₂×C₆₇	C₂×#484	1	12	yes	complemented
134	C₂×C₆₇	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₆₇	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₆₇	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	67	1	no	—
138	C₂³×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
139	C₂×#484	—	67	24	no	—
140	C₂²×#107	—	67	2	no	—
141	C₂²×#103	—	67	2	no	—
142	C₂²×C₂²⋊C₈	D₆₇	1	1	yes	characteristic
143	C₆₇	C₂²×#484	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
144	C₂³×Q₈	—	67	1	no	—
145	C₂⁴×C₄	—	134	1	no	—
146	C₂⁴×C₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
147	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊Q₈	—	67	12	no	—
149	C₂×C₂²⋊Q₈	—	134	6	no	—
150	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	12	no	—
151	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	2	no	—
152	C₂²×C₄⋊C₄	—	67	1	no	—
153	C₂²×C₄⋊C₄	—	134	6	no	—
154	C₂²×C₄⋊C₄	—	134	1	no	—
155	C₂²×C₄⋊C₄	—	134	1	no	—
156	C₂²×C₂²⋊C₄	—	134	1	no	—
157	#484	—	67	64	no	—
158	C₂×#107	—	67	24	no	—
159	C₂×#103	—	67	24	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₆₇	1	12	yes	—
161	C₂⁵	D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×Q₈	—	67	6	no	—
163	C₂²×Q₈	—	134	8	no	—
164	C₂²×Q₈	—	134	3	no	—
165	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂³×C₄	—	268	8	no	—
167	C₂³×C₄	—	134	12	no	—
168	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
169	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
170	C₂³×C₄	—	134	2	no	—
171	C₂³×C₄	D₂₆₈	1	6	yes	—
172	C₂³×C₄	D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
173	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
174	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	12	yes	—
177	C₂²⋊Q₈	—	67	16	no	—
178	C₂²⋊Q₈	—	134	24	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	67	12	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	67	16	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	67	6	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	134	12	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	134	24	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	134	6	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	134	3	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	134	12	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	12	no	—
188	#107	—	67	32	no	—
189	#103	—	67	32	no	—
190	C₂²⋊C₈	C₂²×D₆₇	1	16	yes	—
191	C₂⁴	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	—	2	4	no	—
193	C₂⁴	Dic₂₆₈	1	8	yes	—
194	C₂⁴	C₂×D₂₆₈	1	6	yes	—
195	C₂⁴	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
196	C₂×Q₈	—	268	12	no	—
197	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	134	24	no	—
199	C₂×Q₈	—	134	6	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
203	C₂²×C₄	—	268	48	no	—
204	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	268	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
208	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
209	C₂²×C₄	—	134	16	no	—
210	C₂²×C₄	—	134	12	no	—
211	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	6	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	12	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	3	yes	—
214	C₂²×C₄	#11761627	1	8	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	3	yes	—
217	C₂×C₈	—	2	24	no	—
218	C₂×C₈	C₂³×D₆₇	1	8	yes	—
219	C₄⋊C₄	—	67	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	134	16	no	—
222	C₄⋊C₄	—	134	12	no	—
223	C₄⋊C₄	—	134	6	no	—
224	C₄⋊C₄	—	134	16	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	134	16	no	—
226	C₂³	—	2	12	no	—
227	C₂³	—	2	12	no	—
228	C₂³	—	2	32	no	—
229	C₂³	#14524027	1	4	yes	—
230	C₂³	C₂×Dic₂₆₈	1	24	yes	—
231	C₂³	C₂×Dic₂₆₈	1	4	yes	—
232	C₂³	#14524071	1	4	yes	—
233	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	4	yes	—
234	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	3	yes	—
235	Q₈	—	268	12	no	—
236	Q₈	—	134	8	no	—
237	C₂×C₄	—	2	12	no	—
238	C₂×C₄	—	2	24	no	—
239	C₂×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂×C₄	—	268	32	no	—
241	C₂×C₄	—	268	12	no	—
242	C₂×C₄	—	268	24	no	—
243	C₂×C₄	—	268	12	no	—
244	C₂×C₄	—	134	4	no	—
245	C₂×C₄	—	134	4	no	—
246	C₂×C₄	—	134	8	no	—
247	C₂×C₄	#14524027	1	12	yes	—
248	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	3	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×#11761627	1	12	yes	—
251	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
252	C₈	—	2	8	no	—
253	C₂²	—	2	4	no	—
254	C₂²	—	2	48	no	—
255	C₂²	—	2	4	no	—
256	C₂²	#16863732	1	16	yes	direct product factor
257	C₂²	C₂×#14524027	1	6	yes	—
258	C₂²	C₂²×Dic₂₆₈	1	8	yes	—
259	C₂²	C₂²×Dic₂₆₈	1	6	yes	—
260	C₂²	C₂×#14524071	1	6	yes	—
261	C₂²	C₂³×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
262	C₄	—	2	4	no	—
263	C₄	—	268	8	no	—
264	C₄	—	268	4	no	—
265	C₄	—	268	4	no	—
266	C₄	C₂×#14524027	1	6	yes	—
267	C₄	C₂²×#11761627	1	2	yes	—
268	C₂	—	2	8	no	—
269	C₂	C₂×#16863732	1	12	yes	direct product factor
270	C₂	C₂²×#14524027	1	1	yes	characteristic
271	C₂	C₂³×Dic₂₆₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂	C₂²×#14524071	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×D₂₆₈
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇
Fitting	C₂²×C₂²⋊C₈×C₆₇	C₂
socle	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
prime radical	C₂⁵×C₆₇	D₄
hypercenter	C₂²×C₂²⋊C₈	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂²×#484
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ C₂²×C₂²⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#16863732	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#14523977	C₂	semidirect
5. C₂²×#14523968	C₂	semidirect
18. #16863732	C₂²	direct (N × H)
19. C₂×#14523977	C₂²	semidirect
20. C₂×#14523968	C₂²	semidirect
43. #14523977	C₂³	semidirect
44. #14523968	C₂³	semidirect
119. C₂²×C₆₇	#484	semidirect
133. C₂×C₆₇	C₂×#484	semidirect
143. C₆₇	C₂²×#484	semidirect
256. C₂²	#16863732	direct (N × H)
269. C₂	C₂×#16863732	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14524022	2
C₂³×C₄⋊Dic₆₇	2
C₂×#16863732	2
C₂²×#14523977	2
C₂²×#14523968	2
C₂²×C₂²⋊C₈×C₆₇	2
C₂²×#484	67

Subgroups — C22×#16863732 #31723590

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16863732 #31723590