Subgroups — C₂²×#16863758 #31725042

Order 17152.

2486 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 274 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#14524031	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16863758	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
3	C₂²×#14523966	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂²×#14523963	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂²×#14523954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×C₄⋊Q₈×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×Dic₁₃₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×D₂₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#14524031	—	2	6	no	—
11	C₂×#14524031	C₂²	1	12	yes	—
12	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	1	no	—
13	C₂²×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	1	no	—
14	#16863758	C₂²	1	64	yes	direct product factor
15	C₂×#14523966	C₂²	1	24	yes	complemented
16	C₂×#14523963	C₂²	1	24	yes	—
17	C₂×#14523954	C₂²	1	12	yes	complemented
18	C₂³×Q₈×C₆₇	—	2	1	no	—
19	C₂×C₄⋊Q₈×C₆₇	—	2	6	no	—
20	C₂×C₄⋊Q₈×C₆₇	C₂²	1	12	yes	complemented
21	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
22	C₂²×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂⁴×D₆₇	—	2	1	no	—
25	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	3	no	—
26	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
27	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	6	yes	—
28	C₂²×D₂₆₈	—	2	3	no	—
29	C₂²×D₂₆₈	—	2	8	no	—
30	C₂²×D₂₆₈	C₂³	1	6	yes	—
31	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
32	C₂²×C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
33	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
34	#14524031	—	2	24	no	—
35	#14524031	C₂³	1	16	yes	—
36	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	12	no	—
37	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	12	no	—
38	#14523966	C₂³	1	32	yes	complemented
39	#14523963	C₂³	1	32	yes	—
40	#14523954	C₂³	1	16	yes	complemented
41	C₂²×Q₈×C₆₇	—	2	12	no	—
42	C₂²×Q₈×C₆₇	—	4	8	no	—
43	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₄⋊Q₈×C₆₇	—	2	24	no	—
48	C₄⋊Q₈×C₆₇	C₂³	1	16	yes	complemented
49	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₆₇	C₂³	1	12	yes	—
52	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	6	yes	—
53	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂³×D₆₇	—	2	6	no	—
55	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
56	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
57	C₂³×D₆₇	—	4	4	no	—
58	C₂×Dic₁₃₄	—	2	24	no	—
59	C₂×Dic₁₃₄	—	2	6	no	—
60	C₂×Dic₁₃₄	—	4	12	no	—
61	C₂×Dic₁₃₄	C₂⁴	1	4	yes	—
62	C₂×D₂₆₈	—	2	24	no	—
63	C₂×D₂₆₈	—	2	6	no	—
64	C₂×D₂₆₈	—	4	12	no	—
65	C₂×D₂₆₈	C₂⁴	1	4	yes	—
66	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
67	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
68	C₂×C₆₇⋊C₈	—	2	24	no	—
69	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
70	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	16	no	—
71	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	16	no	—
72	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	16	no	—
74	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	48	no	—
75	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
78	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
79	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
80	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	6	yes	—
81	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
82	C₂²×C₄×C₆₇	#41	1	8	yes	—
83	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	3	yes	—
84	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
85	C₄⋊C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
86	C₄⋊C₄×C₆₇	C₂⁴	1	8	yes	—
87	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	12	yes	—
88	C₄²×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
89	C₂³×C₆₇	#124	1	4	yes	—
90	C₂³×C₆₇	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
91	C₂³×C₆₇	#137	1	4	yes	—
92	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
93	C₂²×D₆₇	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
95	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
96	C₂²×D₆₇	—	4	12	no	—
97	C₂²×D₆₇	—	8	16	no	—
98	Q₈×C₆₇	—	4	32	no	—
99	C₂×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
100	C₂×C₄×C₆₇	—	2	12	no	—
101	C₂×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
102	C₂×C₄×C₆₇	—	4	24	no	—
103	C₂×C₄×C₆₇	#124	1	12	yes	—
104	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
105	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
106	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
107	C₂×C₄×C₆₇	C₂×#41	1	12	yes	—
108	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
109	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
110	C₂×Dic₆₇	—	4	12	no	—
111	D₂₆₈	—	2	8	no	—
112	D₂₆₈	—	4	12	no	—
113	Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
114	Dic₁₃₄	—	4	12	no	—
115	C₆₇⋊C₈	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₆₇	#489	1	16	yes	complemented
117	C₂²×C₆₇	C₂×#124	1	6	yes	—
118	C₂²×C₆₇	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
119	C₂²×C₆₇	C₂×#137	1	6	yes	—
120	C₂²×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
122	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
123	C₂×D₆₇	—	4	4	no	—
124	C₂×D₆₇	—	8	24	no	—
125	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
126	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
127	C₄×C₆₇	—	4	8	no	—
128	C₄×C₆₇	C₂×#124	1	6	yes	—
129	C₄×C₆₇	C₂²×#41	1	2	yes	—
130	Dic₆₇	—	4	4	no	—
131	C₂²×#489	—	67	1	no	maximal, Sylow
132	C₂×C₆₇	C₂×#489	1	12	yes	complemented
133	C₂×C₆₇	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₆₇	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₆₇	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
136	D₆₇	—	8	4	no	—
137	C₂²×C₄⋊Q₈	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
138	C₂²×#124	—	67	1	no	—
139	C₂×#489	—	67	24	no	—
140	C₂²×#103	—	67	2	no	—
141	C₂²×#102	—	67	2	no	—
142	C₂²×#97	—	67	1	no	—
143	C₆₇	C₂²×#489	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
144	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
145	C₂³×Q₈	—	67	1	no	—
146	C₂³×D₄	—	67	1	no	—
147	C₂³×C₈	—	67	2	no	—
148	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
149	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₆₇	1	12	yes	complemented
150	C₂×#124	—	67	12	no	—
151	C₂×#124	—	134	6	no	—
152	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
154	C₂²×C₂²⋊C₄	—	134	1	no	—
155	C₂²×C₂²⋊C₄	—	134	1	no	—
156	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
157	#489	—	67	64	no	—
158	C₂×#103	—	67	24	no	—
159	C₂×#102	—	67	24	no	—
160	C₂×#97	—	67	12	no	—
161	C₂⁵	—	134	1	no	—
162	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
163	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
164	C₂²×Q₈	—	67	6	no	—
165	C₂²×Q₈	—	134	8	no	—
166	C₂²×Q₈	—	134	3	no	—
167	C₂²×D₄	—	67	6	no	—
168	C₂²×D₄	—	134	3	no	—
169	C₂²×D₄	—	134	8	no	—
170	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
172	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
173	C₂³×C₄	C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
174	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	—	67	12	no	—
176	C₂²×C₈	—	134	8	no	—
177	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
178	C₄⋊Q₈	C₂²×D₆₇	1	16	yes	complemented
179	#124	—	67	16	no	—
180	#124	—	134	24	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₆₇	1	12	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	12	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	12	no	—
186	C₂×C₄²	C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
188	#103	—	67	32	no	—
189	#102	—	67	32	no	—
190	#97	—	67	16	no	—
191	C₂⁴	—	268	4	no	—
192	C₂⁴	—	268	4	no	—
193	C₂⁴	—	268	4	no	—
194	C₂⁴	—	134	6	no	—
195	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
196	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
198	C₂×Q₈	—	268	12	no	—
199	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	134	24	no	—
201	C₂×Q₈	—	134	6	no	—
202	C₂×D₄	—	268	12	no	—
203	C₂×D₄	—	67	4	no	—
204	C₂×D₄	—	134	6	no	—
205	C₂×D₄	—	134	24	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
215	C₂²×C₄	#11761629	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	3	yes	—
217	C₂×C₈	—	67	8	no	—
218	C₂×C₈	—	134	24	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
221	C₄⋊C₄	C₂³×D₆₇	1	8	yes	—
222	C₂²⋊C₄	—	134	16	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	134	16	no	—
224	C₄²	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	12	yes	—
225	C₄²	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
226	C₂³	—	268	12	no	—
227	C₂³	—	268	12	no	—
228	C₂³	—	268	12	no	—
229	C₂³	—	536	16	no	—
230	C₂³	—	134	4	no	—
231	C₂³	#14524032	1	4	yes	—
232	C₂³	#14524069	1	4	yes	—
233	C₂³	#14524074	1	4	yes	—
234	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
235	Q₈	—	4	32	no	—
236	Q₈	—	268	12	no	—
237	Q₈	—	134	8	no	—
238	D₄	—	268	12	no	—
239	D₄	—	134	8	no	—
240	C₂×C₄	—	2	12	no	—
241	C₂×C₄	—	2	12	no	—
242	C₂×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂×C₄	—	4	24	no	—
244	C₂×C₄	—	268	12	no	—
245	C₂×C₄	—	134	4	no	—
246	C₂×C₄	#14524032	1	12	yes	—
247	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
248	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	3	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×#11761629	1	12	yes	—
251	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
252	C₈	—	134	8	no	—
253	C₂²	—	268	4	no	—
254	C₂²	—	268	4	no	—
255	C₂²	—	268	4	no	—
256	C₂²	—	536	24	no	—
257	C₂²	#16863758	1	16	yes	direct product factor
258	C₂²	C₂×#14524032	1	6	yes	—
259	C₂²	C₂×#14524069	1	6	yes	—
260	C₂²	C₂×#14524074	1	6	yes	—
261	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
262	C₄	—	2	4	no	—
263	C₄	—	2	4	no	—
264	C₄	—	4	8	no	—
265	C₄	—	268	4	no	—
266	C₄	C₂×#14524032	1	6	yes	—
267	C₄	C₂²×#11761629	1	2	yes	—
268	C₂	—	536	4	no	—
269	C₂	C₂×#16863758	1	12	yes	direct product factor
270	C₂	C₂²×#14524032	1	1	yes	characteristic
271	C₂	C₂²×#14524069	1	1	yes	characteristic
272	C₂	C₂²×#14524074	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₆₇
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇
Fitting	C₂²×C₄⋊Q₈×C₆₇	C₂
socle	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
prime radical	C₂³×D₂₆₈	C₂²
hypercenter	C₂²×C₄⋊Q₈	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂²×#489
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16863758	C₂	direct (N × H)
3. C₂²×#14523966	C₂	semidirect
5. C₂²×#14523954	C₂	semidirect
6. C₂²×C₄⋊Q₈×C₆₇	C₂	semidirect
14. #16863758	C₂²	direct (N × H)
15. C₂×#14523966	C₂²	semidirect
17. C₂×#14523954	C₂²	semidirect
20. C₂×C₄⋊Q₈×C₆₇	C₂²	semidirect
38. #14523966	C₂³	semidirect
40. #14523954	C₂³	semidirect
48. C₄⋊Q₈×C₆₇	C₂³	semidirect
116. C₂²×C₆₇	#489	semidirect
132. C₂×C₆₇	C₂×#489	semidirect
137. C₂²×C₄⋊Q₈	D₆₇	semidirect
143. C₆₇	C₂²×#489	semidirect
149. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₆₇	semidirect
178. C₄⋊Q₈	C₂²×D₆₇	semidirect
257. C₂²	#16863758	direct (N × H)
269. C₂	C₂×#16863758	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#14524031	2
C₂×#16863758	2
C₂²×#14523966	2
C₂²×#14523963	2
C₂²×#14523954	2
C₂²×C₄⋊Q₈×C₆₇	2
C₂²×#489	67

Subgroups — C22×#16863758 #31725042

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16863758 #31725042