Subgroups — C₂²×#16863787 #31725260

Order 17152.

3350 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Dic₂₆₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂³×#11761618	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂³×#11761616	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×#14524041	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#14524030	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#16863787	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
7	C₂²×#14523953	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×SD₁₆×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×Dic₁₃₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×Dic₁₃₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×Dic₂₆₈	—	2	8	no	—
12	C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	1	12	yes	complemented
13	C₂²×#11761618	—	2	8	no	—
14	C₂²×#11761618	C₂²	1	12	yes	complemented
15	C₂²×#11761616	—	2	8	no	—
16	C₂²×#11761616	C₂²	1	12	yes	—
17	C₂³×C₆₇⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#14524041	—	2	6	no	—
19	C₂×#14524041	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂×#14524030	—	2	6	no	—
21	C₂×#14524030	C₂²	1	12	yes	—
22	C₂²×Dic₆₇⋊C₄	—	2	2	no	—
23	C₂²×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
24	C₂²×C₄×Dic₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16863787	C₂²	1	64	yes	direct product factor
26	C₂×#14523953	C₂²	1	12	yes	complemented
27	C₂³×Q₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×D₄×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×SD₁₆×C₆₇	—	2	8	no	—
30	C₂²×SD₁₆×C₆₇	C₂²	1	12	yes	—
31	C₂³×C₈×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	3	no	—
33	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	3	no	—
34	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
35	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
36	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
37	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
38	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	6	yes	—
39	C₂²×Dic₁₃₄	C₂³	1	6	yes	—
40	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
41	C₂³×Dic₆₇	—	2	1	no	—
42	C₂³×Dic₆₇	D₄	1	2	yes	—
43	C₂×Dic₂₆₈	—	2	48	no	—
44	C₂×Dic₂₆₈	C₂³	1	16	yes	complemented
45	C₂×#11761618	—	2	48	no	—
46	C₂×#11761618	C₂³	1	16	yes	complemented
47	C₂×#11761616	—	2	48	no	—
48	C₂×#11761616	C₂³	1	16	yes	—
49	C₂²×C₆₇⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
50	C₂²×C₆₇⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
51	#14524041	—	2	24	no	—
52	#14524041	C₂³	1	16	yes	complemented
53	#14524030	—	2	24	no	—
54	#14524030	C₂³	1	16	yes	—
55	C₂×Dic₆₇⋊C₄	—	2	24	no	—
56	C₂×C₂²⋊Dic₆₇	—	2	24	no	—
57	C₂×C₄×Dic₆₇	D₄	1	6	yes	—
58	C₂×C₄×Dic₆₇	C₂³	1	6	yes	—
59	#14523953	C₂³	1	16	yes	complemented
60	C₂⁵×C₆₇	—	2	1	no	—
61	C₂²×Q₈×C₆₇	—	2	3	no	—
62	C₂²×Q₈×C₆₇	—	2	4	no	—
63	C₂²×Q₈×C₆₇	—	2	4	no	—
64	C₂²×Q₈×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
66	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
67	C₂²×D₄×C₆₇	—	2	3	no	—
68	C₂²×D₄×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂³×C₄×C₆₇	—	2	1	no	—
70	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×SD₁₆×C₆₇	—	2	48	no	—
72	C₂×SD₁₆×C₆₇	C₂³	1	16	yes	—
73	C₂²×C₈×C₆₇	D₄	1	8	yes	—
74	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	6	yes	—
75	C₂×Dic₁₃₄	—	2	12	no	—
76	C₂×Dic₁₃₄	—	2	12	no	—
77	C₂×Dic₁₃₄	—	2	12	no	—
78	C₂×Dic₁₃₄	—	2	12	no	—
79	C₂×Dic₁₃₄	—	2	6	no	—
80	C₂×Dic₁₃₄	—	2	6	no	—
81	C₂×Dic₁₃₄	—	4	12	no	—
82	C₂×Dic₁₃₄	—	4	12	no	—
83	C₂×Dic₁₃₄	C₂⁴	1	4	yes	—
84	C₂×Dic₁₃₄	C₂⁴	1	4	yes	—
85	C₂²×Dic₆₇	—	2	8	no	—
86	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
87	C₂²×Dic₆₇	—	2	6	no	—
88	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
89	C₂²×Dic₆₇	—	4	4	no	—
90	C₂²×Dic₆₇	C₂×D₄	1	12	yes	—
91	Dic₂₆₈	—	2	32	no	—
92	#11761618	—	2	32	no	—
93	#11761616	—	2	32	no	—
94	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
95	C₂×C₆₇⋊C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
96	Dic₆₇⋊C₄	—	2	32	no	—
97	C₂²⋊Dic₆₇	—	2	32	no	—
98	C₄×Dic₆₇	C₂×D₄	1	12	yes	—
99	C₄×Dic₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
100	C₂⁴×C₆₇	—	2	6	no	—
101	C₂⁴×C₆₇	—	4	4	no	—
102	C₂⁴×C₆₇	—	4	8	no	—
103	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	6	no	—
105	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	12	no	—
106	C₂×Q₈×C₆₇	—	2	12	no	—
107	C₂×Q₈×C₆₇	—	4	12	no	—
108	C₂×Q₈×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
109	C₂×D₄×C₆₇	—	2	12	no	—
110	C₂×D₄×C₆₇	—	2	12	no	—
111	C₂×D₄×C₆₇	—	2	6	no	—
112	C₂×D₄×C₆₇	—	4	12	no	—
113	C₂×D₄×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
114	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	6	no	—
115	C₂²×C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
116	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	3	yes	—
117	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	3	yes	—
120	SD₁₆×C₆₇	—	2	32	no	—
121	C₂×C₈×C₆₇	C₂×D₄	1	24	yes	—
122	C₂×C₈×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
124	C₂³×C₆₇	—	4	12	no	—
125	C₂³×C₆₇	—	4	24	no	—
126	C₂³×C₆₇	—	8	16	no	—
127	C₂³×C₆₇	#127	1	4	yes	—
128	C₂³×C₆₇	#137	1	8	yes	—
129	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
130	Q₈×C₆₇	—	2	4	no	—
131	Q₈×C₆₇	—	2	4	no	—
132	Q₈×C₆₇	—	4	12	no	—
133	D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
134	D₄×C₆₇	—	2	4	no	—
135	D₄×C₆₇	—	4	12	no	—
136	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄×C₆₇	—	4	12	no	—
138	C₂×C₄×C₆₇	#127	1	12	yes	—
139	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	3	yes	—
140	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	6	yes	—
141	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	6	yes	—
142	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
143	C₂×Dic₆₇	—	2	24	no	—
144	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
145	C₂×Dic₆₇	—	2	4	no	—
146	C₂×Dic₆₇	—	4	12	no	—
147	C₂×Dic₆₇	—	4	12	no	—
148	C₂×Dic₆₇	C₂²×D₄	1	8	yes	—
149	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
150	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
151	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
152	Dic₁₃₄	—	2	4	no	—
153	Dic₁₃₄	—	4	12	no	—
154	Dic₁₃₄	—	4	12	no	—
155	C₈×C₆₇	C₂²×D₄	1	8	yes	—
156	C₆₇⋊C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
157	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
158	C₂²×C₆₇	—	4	8	no	—
159	C₂²×C₆₇	—	8	24	no	—
160	C₂²×C₆₇	#497	1	16	yes	complemented
161	C₂²×C₆₇	C₂×#127	1	6	yes	—
162	C₂²×C₆₇	C₂×#137	1	12	yes	—
163	C₂²×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₄×C₆₇	—	4	4	no	—
165	C₄×C₆₇	C₂×#127	1	6	yes	—
166	C₄×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
168	Dic₆₇	—	2	8	no	—
169	Dic₆₇	—	4	4	no	—
170	Dic₆₇	—	4	4	no	—
171	C₂²×#497	—	67	1	no	maximal, Sylow
172	C₂×C₆₇	—	8	4	no	—
173	C₂×C₆₇	C₂×#497	1	12	yes	complemented
174	C₂×C₆₇	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₆₇	C₂²×#137	1	2	yes	—
176	C₂³×Q₁₆	—	67	1	no	—
177	C₂³×Q₁₆	—	67	1	no	—
178	C₂³×SD₁₆	—	67	1	no	—
179	C₂³×SD₁₆	D₆₇	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄⋊Q₈	—	67	1	no	—
181	C₂²×#124	—	67	1	no	—
182	C₂×#497	—	67	24	no	—
183	C₂²×#97	—	67	1	no	—
184	C₆₇	C₂²×#497	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
185	C₂³×Q₈	—	67	1	no	—
186	C₂³×Q₈	—	67	1	no	—
187	C₂³×Q₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
188	C₂³×D₄	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×Q₁₆	—	67	12	no	—
190	C₂²×Q₁₆	—	67	12	no	—
191	C₂²×Q₁₆	—	134	8	no	—
192	C₂²×Q₁₆	—	134	8	no	—
193	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
194	C₂²×SD₁₆	—	67	12	no	—
195	C₂²×SD₁₆	—	134	8	no	—
196	C₂²×SD₁₆	C₂×D₆₇	1	12	yes	—
197	C₂³×C₈	—	67	1	no	—
198	C₂³×C₈	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄⋊Q₈	—	67	12	no	—
200	C₂×C₄⋊Q₈	—	134	6	no	—
201	C₂×#124	—	67	12	no	—
202	C₂×#124	—	134	6	no	—
203	C₂²×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
204	C₂²×C₂²⋊C₄	—	134	2	no	—
205	C₂²×C₄²	—	67	1	no	—
206	#497	—	67	64	no	—
207	C₂×#97	—	67	12	no	—
208	C₂⁵	—	2	1	no	—
209	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
210	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
211	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂²×Q₈	—	67	6	no	—
213	C₂²×Q₈	—	67	6	no	—
214	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
215	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
216	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
217	C₂²×Q₈	—	134	4	no	—
218	C₂²×Q₈	—	134	3	no	—
219	C₂²×Q₈	—	134	3	no	—
220	C₂²×Q₈	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
221	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
223	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×D₄	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
225	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂³×C₄	—	67	2	no	—
227	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
228	C₂³×C₄	—	134	1	no	—
229	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
230	C₂×Q₁₆	—	67	16	no	—
231	C₂×Q₁₆	—	67	16	no	—
232	C₂×Q₁₆	—	134	48	no	—
233	C₂×Q₁₆	—	134	48	no	—
234	C₂×SD₁₆	—	2	48	no	—
235	C₂×SD₁₆	—	67	16	no	—
236	C₂×SD₁₆	—	134	48	no	—
237	C₂×SD₁₆	C₂²×D₆₇	1	16	yes	—
238	C₂²×C₈	—	67	8	no	—
239	C₂²×C₈	—	67	6	no	—
240	C₂²×C₈	C₂²⋊D₆₇	1	8	yes	—
241	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	6	yes	—
242	C₄⋊Q₈	—	67	16	no	—
243	C₄⋊Q₈	—	134	24	no	—
244	#124	—	67	16	no	—
245	#124	—	134	24	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	134	24	no	—
247	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	24	no	—
248	C₂×C₄²	—	67	6	no	—
249	C₂×C₄²	—	67	6	no	—
250	#97	—	67	16	no	—
251	C₂⁴	—	2	6	no	—
252	C₂⁴	—	4	4	no	—
253	C₂⁴	—	4	8	no	—
254	C₂⁴	D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
255	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
259	C₂×Q₈	—	268	12	no	—
260	C₂×Q₈	—	268	12	no	—
261	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	67	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	134	12	no	—
264	C₂×Q₈	—	134	12	no	—
265	C₂×Q₈	—	134	12	no	—
266	C₂×Q₈	—	134	12	no	—
267	C₂×Q₈	—	134	6	no	—
268	C₂×Q₈	—	134	6	no	—
269	C₂×Q₈	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
270	C₂×D₄	—	2	12	no	—
271	C₂×D₄	—	2	6	no	—
272	C₂×D₄	—	2	12	no	—
273	C₂×D₄	—	4	12	no	—
274	C₂×D₄	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	268	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	67	12	no	—
280	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
281	C₂²×C₄	—	134	6	no	—
282	C₂²×C₄	—	134	8	no	—
283	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	3	yes	—
284	C₂²×C₄	D₄×D₆₇	1	4	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	3	yes	—
287	Q₁₆	—	134	32	no	—
288	Q₁₆	—	134	32	no	—
289	SD₁₆	—	2	32	no	—
290	SD₁₆	—	134	32	no	—
291	C₂×C₈	—	67	24	no	—
292	C₂×C₈	—	67	4	no	—
293	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₆₇	1	24	yes	—
294	C₂×C₈	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
295	C₄⋊C₄	—	134	32	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	134	32	no	—
297	C₄²	—	67	12	no	—
298	C₄²	—	67	4	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	4	24	no	—
301	C₂³	—	4	12	no	—
302	C₂³	—	8	16	no	—
303	C₂³	#14524039	1	4	yes	—
304	C₂³	#14524072	1	8	yes	—
305	C₂³	C₂×D₄×D₆₇	1	3	yes	—
306	Q₈	—	2	4	no	—
307	Q₈	—	2	4	no	—
308	Q₈	—	4	12	no	—
309	Q₈	—	268	12	no	—
310	Q₈	—	268	12	no	—
311	Q₈	—	134	4	no	—
312	Q₈	—	134	4	no	—
313	Q₈	—	134	4	no	—
314	Q₈	—	134	4	no	—
315	D₄	—	2	4	no	—
316	D₄	—	2	4	no	—
317	D₄	—	4	12	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	12	no	—
320	C₂×C₄	—	268	12	no	—
321	C₂×C₄	—	268	12	no	—
322	C₂×C₄	—	67	8	no	—
323	C₂×C₄	—	134	4	no	—
324	C₂×C₄	—	134	4	no	—
325	C₂×C₄	—	134	24	no	—
326	C₂×C₄	#14524039	1	12	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	3	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×D₄×D₆₇	1	6	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	6	yes	—
330	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
331	C₈	—	67	8	no	—
332	C₈	C₂²×C₂²⋊D₆₇	1	8	yes	—
333	C₂²	—	4	8	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	8	24	no	—
336	C₂²	#16863787	1	16	yes	direct product factor
337	C₂²	C₂×#14524039	1	6	yes	—
338	C₂²	C₂×#14524072	1	12	yes	—
339	C₂²	C₂²×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
340	C₄	—	4	4	no	—
341	C₄	—	268	4	no	—
342	C₄	—	268	4	no	—
343	C₄	—	134	8	no	—
344	C₄	C₂×#14524039	1	6	yes	—
345	C₄	C₂²×D₄×D₆₇	1	1	yes	characteristic
346	C₄	C₂³×C₂²⋊D₆₇	1	1	yes	characteristic
347	C₂	—	8	4	no	—
348	C₂	C₂×#16863787	1	12	yes	direct product factor
349	C₂	C₂²×#14524039	1	1	yes	characteristic
350	C₂	C₂²×#14524072	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	D₄×D₆₇
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇
Fitting	C₂³×SD₁₆×C₆₇	C₂
socle	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄
prime radical	C₂³×D₄×C₆₇	C₂²
hypercenter	C₂³×SD₁₆	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂²×#497
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂³×SD₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×Dic₂₆₈	C₂	semidirect
2. C₂³×#11761618	C₂	semidirect
4. C₂²×#14524041	C₂	semidirect
6. C₂×#16863787	C₂	direct (N × H)
7. C₂²×#14523953	C₂	semidirect
12. C₂²×Dic₂₆₈	C₂²	semidirect
14. C₂²×#11761618	C₂²	semidirect
19. C₂×#14524041	C₂²	semidirect
25. #16863787	C₂²	direct (N × H)
26. C₂×#14523953	C₂²	semidirect
44. C₂×Dic₂₆₈	C₂³	semidirect
46. C₂×#11761618	C₂³	semidirect
52. #14524041	C₂³	semidirect
59. #14523953	C₂³	semidirect
160. C₂²×C₆₇	#497	semidirect
173. C₂×C₆₇	C₂×#497	semidirect
184. C₆₇	C₂²×#497	semidirect
336. C₂²	#16863787	direct (N × H)
348. C₂	C₂×#16863787	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Dic₂₆₈	2
C₂³×#11761618	2
C₂³×#11761616	2
C₂²×#14524041	2
C₂²×#14524030	2
C₂×#16863787	2
C₂²×#14523953	2
C₂³×SD₁₆×C₆₇	2
C₂²×#497	67

Subgroups — C22×#16863787 #31725260

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16863787 #31725260