Subgroups — C₂×#22571590 #31728696

Order 17152.

2426 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16863946	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#22571590	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
3	C₂×#16863687	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#16863649	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×#16863592	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×#423×C₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#11761628	—	2	2	no	—
8	C₂²×D₅₃₆	C₂²	1	4	yes	—
9	#16863946	—	2	8	no	—
10	#16863946	C₂²	1	16	yes	complemented
11	C₂×#14524043	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#14524040	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#14524031	—	2	2	no	—
14	C₂×#14524017	—	2	2	no	—
15	C₂×#14524017	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×D₂₆₈	—	2	2	no	—
17	C₂×C₄×D₂₆₈	C₂²	1	4	yes	—
18	#16863687	C₂²	1	32	yes	complemented
19	#16863649	C₂²	1	32	yes	complemented
20	#16863592	C₂²	1	32	yes	complemented
21	C₂×#14523975	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#14523965	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂²×M₁₆×C₆₇	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄²×C₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#423×C₆₇	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₂×C₄⋊C₈×C₆₇	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#11761628	—	2	16	no	—
28	C₂×#11761628	—	4	16	no	—
29	C₂²×Dic₁₃₄	—	2	2	no	—
30	C₂²×D₂₆₈	—	2	2	no	—
31	C₂²×D₂₆₈	—	2	2	no	—
32	C₂²×D₂₆₈	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²×C₂²⋊D₆₇	—	2	4	no	—
34	C₂²×C₄×D₆₇	—	2	4	no	—
35	C₂×D₅₃₆	—	4	8	no	—
36	C₂×D₅₃₆	C₂³	1	16	yes	—
37	#14524043	—	2	4	no	—
38	#14524043	C₂³	1	8	yes	—
39	#14524040	—	2	4	no	—
40	#14524040	C₂³	1	8	yes	—
41	#14524031	—	2	16	no	—
42	#14524017	—	2	16	no	—
43	#14524017	—	2	8	no	—
44	#14524017	C₂³	1	16	yes	—
45	C₄×D₂₆₈	—	2	16	no	—
46	C₄×D₂₆₈	—	2	8	no	—
47	C₄×D₂₆₈	C₂³	1	16	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₆₇	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₆₇	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂×(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
52	#14523975	C₂³	1	16	yes	—
53	#14523965	C₂³	1	32	yes	—
54	C₂³×C₄×C₆₇	D₄	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄×C₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×M₁₆×C₆₇	—	4	4	no	—
57	C₂×M₁₆×C₆₇	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂²×C₈×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₆₇	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²×C₆₇	C₂³	1	4	yes	—
64	C₄⋊C₈×C₆₇	C₂³	1	16	yes	—
65	C₂³×D₆₇	—	2	4	no	—
66	#11761628	—	4	64	no	—
67	C₂×Dic₁₃₄	—	2	8	no	—
68	C₂×Dic₁₃₄	—	4	8	no	—
69	C₂×D₂₆₈	—	2	8	no	—
70	C₂×D₂₆₈	—	2	8	no	—
71	C₂×D₂₆₈	—	2	4	no	—
72	C₂×D₂₆₈	—	2	8	no	—
73	C₂×D₂₆₈	—	2	8	no	—
74	C₂×D₂₆₈	—	4	8	no	—
75	C₂×D₂₆₈	—	4	8	no	—
76	C₂×D₂₆₈	C₂⁴	1	8	yes	—
77	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	2	16	no	—
78	C₂×C₂²⋊D₆₇	—	4	16	no	—
79	C₂²×Dic₆₇	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×D₆₇	—	2	16	no	—
81	C₂×C₄×D₆₇	—	4	16	no	—
82	D₅₃₆	—	4	16	no	—
83	C₄⋊Dic₆₇	—	2	8	no	—
84	C₄⋊Dic₆₇	—	2	4	no	—
85	C₄⋊Dic₆₇	C₂⁴	1	8	yes	—
86	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	16	no	—
87	(C₂×D₆₇)⋊C₄	—	2	16	no	—
88	C₂⁴×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	8	no	—
90	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	8	yes	—
96	C₂²×C₄×C₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄×C₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	M₁₆×C₆₇	—	4	8	no	—
100	C₂×C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
101	C₂×C₈×C₆₇	C₂⁴	1	8	yes	—
102	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₄²×C₆₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₄²×C₆₇	C₂⁴	1	4	yes	—
106	C₂³×C₆₇	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₆₇	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×D₆₇	—	2	8	no	—
111	C₂²×D₆₇	—	4	8	no	—
112	C₂²×D₆₇	—	4	8	no	—
113	C₂²×D₆₇	—	4	8	no	—
114	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄×C₆₇	—	2	16	no	—
118	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₆₇	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
121	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
123	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₆₇	C₂²×D₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₆₇	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₆₇	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
128	C₂²⋊D₆₇	—	4	32	no	—
129	C₂×Dic₆₇	—	2	8	no	—
130	C₂×Dic₆₇	—	4	8	no	—
131	D₂₆₈	—	2	8	no	—
132	D₂₆₈	—	2	8	no	—
133	D₂₆₈	—	4	16	no	—
134	D₂₆₈	—	4	8	no	—
135	D₂₆₈	—	4	16	no	—
136	C₄×D₆₇	—	4	32	no	—
137	Dic₁₃₄	—	4	16	no	—
138	C₈×C₆₇	—	2	8	no	—
139	C₂²×C₆₇	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₆₇	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₆₇	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₆₇	#537	1	2	yes	—
143	C₂²×C₆₇	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
144	C₂²×C₆₇	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×D₆₇	—	4	8	no	—
146	C₂×D₆₇	—	4	8	no	—
147	C₂×D₆₇	—	4	8	no	—
148	C₂×D₆₇	—	8	16	no	—
149	C₄×C₆₇	—	2	2	no	—
150	C₄×C₆₇	—	2	4	no	—
151	C₄×C₆₇	#537	1	2	yes	—
152	C₄×C₆₇	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
153	C₄×C₆₇	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
154	C₄×C₆₇	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
155	Dic₆₇	—	4	8	no	—
156	C₂×#3253	—	67	1	no	maximal, Sylow
157	C₂×C₆₇	—	4	2	no	—
158	C₂×C₆₇	#3253	1	4	yes	complemented
159	C₂×C₆₇	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₆₇	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
161	D₆₇	—	8	8	no	—
162	C₂×#532	—	67	2	no	—
163	#3253	—	67	16	no	—
164	C₂×#476	—	67	4	no	—
165	C₂×#469	—	67	4	no	—
166	C₂×#459	—	67	4	no	—
167	C₂×#423	D₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
168	C₆₇	C₂×#3253	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
169	C₂²×#41	—	134	2	no	—
170	C₂²×D₈	—	67	4	no	—
171	C₂²×M₁₆	C₂×D₆₇	1	2	yes	—
172	#532	—	67	16	no	—
173	#532	—	134	8	no	—
174	C₂×C₄⋊Q₈	—	67	2	no	—
175	C₂×#127	—	67	2	no	—
176	C₂×#124	—	134	2	no	—
177	C₂×#121	—	67	4	no	—
178	C₂×#121	—	134	2	no	—
179	C₂×C₄×D₄	—	67	4	no	—
180	C₂×C₄×D₄	—	134	2	no	—
181	C₂²×C₄²	C₂×D₆₇	1	1	yes	characteristic
182	#476	—	67	32	no	—
183	#469	—	67	32	no	—
184	#459	—	67	32	no	—
185	C₂×#106	—	67	4	no	—
186	#423	C₂×D₆₇	1	8	yes	complemented
187	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₆₇	1	4	yes	—
188	C₂×#102	—	67	8	no	—
189	C₂×#41	—	268	16	no	—
190	C₂×#41	—	134	16	no	—
191	C₂²×Q₈	—	134	2	no	—
192	C₂²×D₄	—	67	4	no	—
193	C₂²×D₄	—	134	4	no	—
194	C₂²×D₄	—	134	2	no	—
195	C₂²×D₄	—	134	2	no	—
196	C₂³×C₄	—	134	4	no	—
197	C₂³×C₄	D₂₆₈	1	2	yes	—
198	C₂³×C₄	C₂²×D₆₇	1	1	yes	characteristic
199	C₂×D₈	—	268	8	no	—
200	C₂×D₈	—	67	16	no	—
201	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
202	C₂×M₁₆	C₂²×D₆₇	1	8	yes	—
203	C₂²×C₈	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
204	C₄⋊Q₈	—	67	8	no	—
205	C₄⋊Q₈	—	134	4	no	—
206	#127	—	67	8	no	—
207	#127	—	134	4	no	—
208	#124	—	134	16	no	—
209	#121	—	67	16	no	—
210	#121	—	134	8	no	—
211	#121	—	134	16	no	—
212	C₄×D₄	—	67	16	no	—
213	C₄×D₄	—	134	8	no	—
214	C₄×D₄	—	134	16	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	67	4	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	134	2	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	134	4	no	—
219	C₂×C₄²	D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄²	D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	D₂₆₈	1	4	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂²×D₆₇	1	4	yes	—
224	#106	—	67	16	no	—
225	C₄⋊C₈	C₂²×D₆₇	1	16	yes	—
226	#102	—	67	32	no	—
227	C₂⁴	—	134	4	no	—
228	C₂⁴	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
229	#41	—	268	64	no	—
230	C₂×Q₈	—	268	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	134	8	no	—
232	C₂×D₄	—	268	8	no	—
233	C₂×D₄	—	268	16	no	—
234	C₂×D₄	—	268	8	no	—
235	C₂×D₄	—	67	8	no	—
236	C₂×D₄	—	134	16	no	—
237	C₂×D₄	—	134	8	no	—
238	C₂×D₄	—	134	4	no	—
239	C₂×D₄	—	134	8	no	—
240	C₂×D₄	—	134	8	no	—
241	C₂×D₄	—	134	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	268	16	no	—
246	C₂²×C₄	—	134	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	134	16	no	—
248	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	8	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×D₂₆₈	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×D₆₇	1	1	yes	characteristic
255	D₈	—	268	16	no	—
256	M₁₆	—	4	8	no	—
257	C₂×C₈	—	2	8	no	—
258	C₂×C₈	C₂³×D₆₇	1	8	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	67	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	134	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	134	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	134	16	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	134	16	no	—
264	C₄²	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
265	C₄²	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
266	C₄²	C₂×D₂₆₈	1	4	yes	—
267	C₄²	C₂³×D₆₇	1	4	yes	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	268	8	no	—
271	C₂³	—	268	8	no	—
272	C₂³	—	268	8	no	—
273	C₂³	—	134	8	no	—
274	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	2	yes	—
275	C₂³	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
276	Q₈	—	268	16	no	—
277	D₄	—	268	16	no	—
278	D₄	—	268	32	no	—
279	D₄	—	268	16	no	—
280	D₄	—	268	8	no	—
281	D₄	—	134	8	no	—
282	D₄	—	134	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	16	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	268	8	no	—
290	C₂×C₄	—	268	32	no	—
291	C₂×C₄	—	134	8	no	—
292	C₂×C₄	#14524071	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#14524088	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#14524091	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇	1	1	yes	characteristic
300	C₈	—	2	8	no	—
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	—	268	8	no	—
305	C₂²	—	268	8	no	—
306	C₂²	—	268	8	no	—
307	C₂²	—	536	16	no	—
308	C₂²	#16863977	1	2	yes	—
309	C₂²	C₂×#14524071	1	4	yes	—
310	C₂²	C₂³×D₂₆₈	1	1	yes	characteristic
311	C₄	—	2	4	no	—
312	C₄	—	2	2	no	—
313	C₄	—	268	8	no	—
314	C₄	#16863977	1	2	yes	—
315	C₄	C₂×#14524071	1	8	yes	—
316	C₄	C₂×#14524088	1	1	yes	characteristic
317	C₄	C₂×#14524091	1	1	yes	characteristic
318	C₂	—	4	2	no	—
319	C₂	—	536	8	no	—
320	C₂	#22571590	1	4	yes	direct product factor
321	C₂	C₂×#16863977	1	1	yes	characteristic
322	C₂	C₂²×#14524071	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₆₈
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₆₇	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₆₇
Fitting	C₂×#423×C₆₇	C₂
socle	C₂³×C₆₇	C₂²×D₄
hypercenter	C₂×#423	D₆₇
hypocenter	C₆₇	C₂×#3253
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₆₇ ▷ C₂×C₆₇ ▷ C₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#423

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16863946	C₂	semidirect
2. #22571590	C₂	direct (N × H)
3. C₂×#16863687	C₂	semidirect
4. C₂×#16863649	C₂	semidirect
5. C₂×#16863592	C₂	semidirect
6. C₂×#423×C₆₇	C₂	semidirect
10. #16863946	C₂²	semidirect
18. #16863687	C₂²	semidirect
19. #16863649	C₂²	semidirect
20. #16863592	C₂²	semidirect
25. #423×C₆₇	C₂²	semidirect
158. C₂×C₆₇	#3253	semidirect
167. C₂×#423	D₆₇	semidirect
168. C₆₇	C₂×#3253	semidirect
186. #423	C₂×D₆₇	semidirect
320. C₂	#22571590	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16863946	2
#22571590	2
C₂×#16863687	2
C₂×#16863649	2
C₂×#16863592	2
C₂×#423×C₆₇	2
C₂×#3253	67

Subgroups — C2×#22571590 #31728696

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#22571590 #31728696