Subgroups — #31783623

Order 17536.

820 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×Q₈×D₁₃₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×Dic₂₇₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#17984053	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22577310	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#22577307	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#22577307	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#22577262	C₂	1	2	yes	maximal
8	#22577260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#14555487	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#22577250	C₂	1	2	yes	maximal
11	#391×C₁₃₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×Dic₂₇₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×Dic₂₇₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×Q₈×D₁₃₇	—	2	4	no	—
15	C₂×Q₈×D₁₃₇	—	2	4	no	—
16	C₂×Q₈×D₁₃₇	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂²×C₄×D₁₃₇	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×D₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄×Dic₂₇₄	—	2	4	no	—
20	#17984053	—	2	4	no	—
21	C₂×C₄⋊Dic₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#14555489	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#14555489	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#14555487	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#14555487	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#14555487	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×Dic₁₃₇	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×Dic₁₃₇	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×Dic₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#17983995	C₂²	1	2	yes	—
31	#17983995	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#17983995	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#17983995	C₂²	1	2	yes	—
34	#17983995	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×Q₈×C₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄⋊C₄×C₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄²×C₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#95×C₁₃₇	C₂²	1	2	yes	—
39	#95×C₁₃₇	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂³×D₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×Dic₂₇₄	—	2	4	no	—
42	C₂×Dic₂₇₄	—	2	4	no	—
43	C₂×Dic₂₇₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×Dic₂₇₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×Dic₂₇₄	D₄	1	4	yes	—
46	C₂×Dic₂₇₄	D₄	1	4	yes	—
47	Q₈×D₁₃₇	—	2	32	no	—
48	C₂²×Dic₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×Dic₁₃₇	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×Dic₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×Dic₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×Dic₁₃₇	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₁₃₇	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×D₁₃₇	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×D₁₃₇	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₁₃₇	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×D₁₃₇	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂×C₄×D₁₃₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₄⋊Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
60	#14555489	—	2	4	no	—
61	#14555489	—	2	4	no	—
62	#14555487	—	2	4	no	—
63	#14555487	—	2	2	no	—
64	#14555487	Q₈	1	4	yes	complemented
65	C₄×Dic₁₃₇	—	2	4	no	—
66	C₄×Dic₁₃₇	—	2	4	no	—
67	C₄×Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
68	C₂×Q₈×C₁₃₇	—	2	2	no	—
69	C₂×Q₈×C₁₃₇	—	2	2	no	—
70	C₂×Q₈×C₁₃₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₁₃₇	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₁₃₇	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
77	C₄²×C₁₃₇	—	2	2	no	—
78	C₂²×D₁₃₇	—	2	1	no	—
79	C₂²×D₁₃₇	—	2	1	no	—
80	C₂²×D₁₃₇	—	2	1	no	—
81	C₂²×D₁₃₇	—	2	1	no	—
82	C₂²×D₁₃₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×D₁₃₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
84	C₂²×D₁₃₇	#41	1	2	yes	—
85	Dic₂₇₄	—	2	16	no	—
86	Dic₂₇₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
87	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
88	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
89	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
90	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
91	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
92	C₂×Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
93	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
94	C₂×Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
95	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
96	C₂×Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
97	C₂×Dic₁₃₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂×Dic₁₃₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂×Dic₁₃₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂×Dic₁₃₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂×Dic₁₃₇	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
102	C₄×D₁₃₇	—	2	8	no	—
103	C₄×D₁₃₇	—	2	16	no	—
104	C₂³×C₁₃₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	Q₈×C₁₃₇	—	2	8	no	—
106	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄×C₁₃₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₁₃₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₁₃₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₁₃₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₁₃₇	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
121	C₂²×C₁₃₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₁₃₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₁₃₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₁₃₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₁₃₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₁₃₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₁₃₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂×D₁₃₇	—	2	2	no	—
129	C₂×D₁₃₇	—	2	2	no	—
130	C₂×D₁₃₇	—	2	2	no	—
131	C₂×D₁₃₇	—	2	2	no	—
132	C₂×D₁₃₇	—	2	2	no	—
133	C₂×D₁₃₇	—	2	2	no	—
134	C₂×D₁₃₇	C₄×Q₈	1	4	yes	complemented
135	C₄×C₁₃₇	—	2	4	no	—
136	C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
137	C₄×C₁₃₇	—	4	2	no	—
138	C₄×C₁₃₇	—	4	1	no	—
139	C₄×C₁₃₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
141	Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
142	Dic₁₃₇	—	4	1	no	—
143	Dic₁₃₇	—	4	2	no	—
144	Dic₁₃₇	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
145	C₂×C₁₃₇	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₁₃₇	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₁₃₇	#519	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₁₃₇	#548	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₁₃₇	#548	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₁₃₇	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₁₃₇	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
152	D₁₃₇	—	2	4	no	—
153	C₁₃₇	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
154	Q₈×C₂²⋊C₄	—	137	1	no	maximal, Sylow
155	C₂³×Q₈	—	137	1	no	—
156	C₂×C₄×Q₈	—	137	1	no	—
157	C₂×C₄×Q₈	—	137	1	no	—
158	#391	—	137	1	no	—
159	#391	—	137	2	no	—
160	#391	—	137	2	no	—
161	#391	D₁₃₇	1	1	yes	characteristic, complemented
162	#380	—	137	1	no	—
163	#380	—	137	2	no	—
164	C₄×C₂²⋊C₄	—	137	1	no	—
165	C₄×C₂²⋊C₄	—	137	2	no	—
166	C₂²×Q₈	—	274	4	no	—
167	C₂²×Q₈	—	274	4	no	—
168	C₂²×Q₈	—	137	8	no	—
169	C₂²×Q₈	—	137	2	no	—
170	C₂²×Q₈	—	137	1	no	—
171	C₂²×Q₈	C₂×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
172	C₂³×C₄	—	137	2	no	—
173	C₂³×C₄	—	137	1	no	—
174	C₄×Q₈	—	274	4	no	—
175	C₄×Q₈	—	274	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	137	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	137	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	137	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	137	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	137	1	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	137	1	no	—
183	C₂×C₄²	—	137	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	137	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	137	1	no	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
187	#95	—	137	1	no	—
188	#95	—	137	2	no	—
189	#95	—	137	1	no	—
190	#95	—	137	2	no	—
191	#95	—	137	2	no	—
192	#95	C₂×D₁₃₇	1	2	yes	—
193	#95	C₂×D₁₃₇	1	2	yes	—
194	C₂⁴	—	137	1	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	274	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	274	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	274	32	no	—
200	C₂×Q₈	—	137	8	no	—
201	C₂×Q₈	—	137	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	137	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	137	4	no	—
204	C₂×Q₈	C₄×D₁₃₇	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	—	274	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	274	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	274	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	274	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	137	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	137	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	137	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	137	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	137	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	137	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	137	2	no	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₇	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₇	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
221	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	274	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	274	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	274	2	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	274	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	274	2	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	137	4	no	—
228	C₄²	—	2	2	no	—
229	C₄²	—	274	4	no	—
230	C₄²	—	274	4	no	—
231	C₄²	—	274	2	no	—
232	C₂³	—	274	1	no	—
233	C₂³	—	274	1	no	—
234	C₂³	—	274	1	no	—
235	C₂³	—	274	1	no	—
236	C₂³	—	137	2	no	—
237	C₂³	—	137	2	no	—
238	C₂³	—	137	2	no	—
239	C₂³	C₂³×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
240	Q₈	—	2	8	no	—
241	Q₈	—	274	16	no	—
242	Q₈	—	137	16	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	274	16	no	—
254	C₂×C₄	—	274	1	no	—
255	C₂×C₄	—	274	1	no	—
256	C₂×C₄	—	274	1	no	—
257	C₂×C₄	—	274	1	no	—
258	C₂×C₄	—	274	8	no	—
259	C₂×C₄	—	274	1	no	—
260	C₂×C₄	—	274	2	no	—
261	C₂×C₄	—	274	1	no	—
262	C₂×C₄	—	274	2	no	—
263	C₂×C₄	—	274	1	no	—
264	C₂×C₄	—	274	2	no	—
265	C₂×C₄	—	137	2	no	—
266	C₂×C₄	—	137	2	no	—
267	C₂×C₄	—	137	4	no	—
268	C₂×C₄	—	137	4	no	—
269	C₂×C₄	—	137	4	no	—
270	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₃₇	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₃₇	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	D₄×D₁₃₇	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	D₄×D₁₃₇	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	Q₈×D₁₃₇	1	2	yes	complemented
275	C₂²	—	274	2	no	—
276	C₂²	—	274	2	no	—
277	C₂²	—	274	2	no	—
278	C₂²	—	274	2	no	—
279	C₂²	—	274	2	no	—
280	C₂²	—	274	2	no	—
281	C₂²	—	137	4	no	—
282	C₂²	C₂²×C₄×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂×D₄×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂×D₄×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	C₂×Q₈×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	#41×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	#17984135	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	#17984136	1	1	yes	characteristic
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	2	4	no	—
291	C₄	—	4	2	no	—
292	C₄	—	4	1	no	—
293	C₄	—	274	2	no	—
294	C₄	—	274	2	no	—
295	C₄	—	548	1	no	—
296	C₄	—	548	2	no	—
297	C₄	—	137	8	no	—
298	C₄	C₂²⋊C₄×D₁₃₇	1	4	yes	—
299	C₂	—	274	4	no	—
300	C₂	C₂×C₂²⋊C₄×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
301	C₂	C₄×Q₈×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#22577879	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#22578061	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#22578063	1	1	yes	characteristic
305	C₂	#22578066	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#22578068	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₁₃₇
commutator	C₂²×C₁₃₇	C₂³×C₄
Fitting	#391×C₁₃₇	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₁₃₇	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₁₃₇	C₂³
hypercenter	#391	D₁₃₇
hypocenter	C₁₃₇	Q₈×C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₁₃₇ ▷ C₁₃₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #391

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×Dic₂₇₄	C₂	semidirect
3. C₂×#17984053	C₂	semidirect
4. #22577310	C₂	semidirect
5. #22577307	C₂	semidirect
6. #22577307	C₂	semidirect
11. #391×C₁₃₇	C₂	semidirect
16. C₂×Q₈×D₁₃₇	C₄	semidirect
64. #14555487	Q₈	semidirect
86. Dic₂₇₄	C₂²⋊C₄	semidirect
101. C₂×Dic₁₃₇	C₂×Q₈	semidirect
120. C₂×C₄×C₁₃₇	C₂×Q₈	semidirect
134. C₂×D₁₃₇	C₄×Q₈	semidirect
153. C₁₃₇	Q₈×C₂²⋊C₄	semidirect
161. #391	D₁₃₇	semidirect
274. C₂×C₄	Q₈×D₁₃₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×Q₈×D₁₃₇	2
C₂×C₄×Dic₂₇₄	2
C₂×#17984053	2
#22577310	2
#22577307	2
#22577262	2
#22577260	2
C₄×#14555487	2
#22577250	2
#391×C₁₃₇	2
Q₈×C₂²⋊C₄	137