Subgroups — #31784150

Order 17536.

840 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×Q₈×D₁₃₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#17984067	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄×C₂²⋊D₁₃₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#22577323	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#22577315	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#22577310	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#22577308	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#22577279	C₂	1	2	yes	maximal
9	#22577274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#22577260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₃₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×Dic₂₇₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×Dic₂₇₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×Q₈×D₁₃₇	—	2	4	no	—
15	C₂×Q₈×D₁₃₇	—	2	4	no	—
16	C₂×Q₈×D₁₃₇	—	2	4	no	—
17	C₂²×C₂²⋊D₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×D₁₃₇	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×D₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#17984067	—	2	4	no	—
21	C₄×C₂²⋊D₁₃₇	—	2	4	no	—
22	C₂×C₄⋊Dic₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#14555489	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#14555489	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₂²⋊Dic₁₃₇	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Dic₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#14555487	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#14555487	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×Dic₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#17983995	C₂²	1	2	yes	—
31	#17983995	C₂²	1	2	yes	—
32	#17983995	C₂²	1	2	yes	—
33	#17983995	C₂²	1	2	yes	—
34	#17983995	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×Q₈×C₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₄×C₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²⋊Q₈×C₁₃₇	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊C₄×C₁₃₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄⋊C₄×C₁₃₇	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₂²⋊C₄×C₁₃₇	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂³×D₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×Dic₂₇₄	—	2	4	no	—
43	C₂×Dic₂₇₄	—	2	4	no	—
44	C₂×Dic₂₇₄	—	2	2	no	—
45	C₂×Dic₂₇₄	—	2	4	no	—
46	C₂×Dic₂₇₄	—	2	2	no	—
47	C₂×Dic₂₇₄	D₄	1	4	yes	complemented
48	Q₈×D₁₃₇	—	2	32	no	—
49	C₂×C₂²⋊D₁₃₇	—	2	2	no	—
50	C₂×C₂²⋊D₁₃₇	—	2	2	no	—
51	C₂×C₂²⋊D₁₃₇	Q₈	1	4	yes	complemented
52	C₂²×Dic₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×Dic₁₃₇	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Dic₁₃₇	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×Dic₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×Dic₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×D₁₃₇	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×D₁₃₇	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×D₁₃₇	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₁₃₇	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×D₁₃₇	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×D₁₃₇	D₄	1	4	yes	—
63	C₄⋊Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
64	#14555489	—	2	2	no	—
65	#14555489	—	2	4	no	—
66	C₂²⋊Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
67	C₂²⋊Dic₁₃₇	—	2	4	no	—
68	#14555487	—	2	2	no	—
69	#14555487	—	2	4	no	—
70	C₄×Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
71	C₂⁴×C₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×Q₈×C₁₃₇	—	2	2	no	—
73	C₂×Q₈×C₁₃₇	—	2	2	no	—
74	C₂×Q₈×C₁₃₇	D₄	1	4	yes	complemented
75	C₂²×C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₁₃₇	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₁₃₇	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₁₃₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₄⋊C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
83	C₄⋊C₄×C₁₃₇	—	2	4	no	—
84	C₂²⋊C₄×C₁₃₇	—	2	4	no	—
85	C₂²×D₁₃₇	—	2	1	no	—
86	C₂²×D₁₃₇	—	2	1	no	—
87	C₂²×D₁₃₇	—	2	1	no	—
88	C₂²×D₁₃₇	—	2	1	no	—
89	C₂²×D₁₃₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂²×D₁₃₇	C₂×Q₈	1	2	yes	—
91	C₂²×D₁₃₇	#41	1	2	yes	—
92	Dic₂₇₄	—	2	16	no	—
93	Dic₂₇₄	—	2	8	no	—
94	C₂²⋊D₁₃₇	—	2	8	no	—
95	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
96	C₂×Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
97	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
98	C₂×Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
99	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
100	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
101	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
102	C₂×Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
103	C₂×Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
104	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
105	C₂×Dic₁₃₇	—	2	1	no	—
106	C₂×Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
107	C₂×Dic₁₃₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂×Dic₁₃₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂×Dic₁₃₇	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
110	C₄×D₁₃₇	—	2	16	no	—
111	C₄×D₁₃₇	—	2	8	no	—
112	C₂³×C₁₃₇	—	2	1	no	—
113	C₂³×C₁₃₇	—	2	1	no	—
114	C₂³×C₁₃₇	—	2	1	no	—
115	C₂³×C₁₃₇	—	2	1	no	—
116	C₂³×C₁₃₇	—	2	1	no	—
117	C₂³×C₁₃₇	—	2	1	no	—
118	C₂³×C₁₃₇	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
119	C₂³×C₁₃₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	Q₈×C₁₃₇	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₁₃₇	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₁₃₇	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄×C₁₃₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₁₃₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₁₃₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₁₃₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₁₃₇	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₁₃₇	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₁₃₇	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₁₃₇	—	4	1	no	—
138	C₂²×C₁₃₇	—	4	1	no	—
139	C₂²×C₁₃₇	—	4	1	no	—
140	C₂²×C₁₃₇	—	4	1	no	—
141	C₂²×C₁₃₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₁₃₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₁₃₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₁₃₇	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₁₃₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₁₃₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₁₃₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₂×D₁₃₇	—	2	2	no	—
149	C₂×D₁₃₇	—	2	2	no	—
150	C₂×D₁₃₇	—	2	2	no	—
151	C₂×D₁₃₇	—	2	2	no	—
152	C₂×D₁₃₇	—	2	2	no	—
153	C₂×D₁₃₇	—	2	2	no	—
154	C₂×D₁₃₇	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	complemented
155	C₄×C₁₃₇	—	2	4	no	—
156	C₄×C₁₃₇	—	4	1	no	—
157	C₄×C₁₃₇	—	4	2	no	—
158	C₄×C₁₃₇	#120	1	4	yes	—
159	Dic₁₃₇	—	2	4	no	—
160	Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
161	Dic₁₃₇	—	2	2	no	—
162	Dic₁₃₇	—	4	1	no	—
163	Dic₁₃₇	—	4	2	no	—
164	C₂×C₁₃₇	—	4	2	no	—
165	C₂×C₁₃₇	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₁₃₇	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₁₃₇	#536	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₁₃₇	#548	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₁₃₇	#548	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₁₃₇	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₁₃₇	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
172	D₁₃₇	—	2	4	no	—
173	C₁₃₇	#2409	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
174	#2409	—	137	1	no	maximal, Sylow
175	C₂³×Q₈	—	137	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊Q₈	—	137	1	no	—
177	C₂×C₂²⋊Q₈	D₁₃₇	1	1	yes	characteristic, complemented
178	C₂×C₄×D₄	—	137	1	no	—
179	#395	—	137	2	no	—
180	#393	—	137	2	no	—
181	#391	—	137	1	no	—
182	#391	—	137	1	no	—
183	#386	—	137	2	no	—
184	#385	—	137	2	no	—
185	#380	—	137	1	no	—
186	C₂²×Q₈	—	274	4	no	—
187	C₂²×Q₈	—	274	4	no	—
188	C₂²×Q₈	—	274	4	no	—
189	C₂²×Q₈	—	137	2	no	—
190	C₂²×Q₈	—	137	1	no	—
191	C₂²×Q₈	C₂×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×D₄	—	137	1	no	—
193	C₂³×C₄	—	137	2	no	—
194	C₂³×C₄	—	137	1	no	—
195	C₂³×C₄	C₂×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
196	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊Q₈	—	274	4	no	—
198	C₄×D₄	—	274	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	137	1	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	137	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	137	1	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₃₇	1	2	yes	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	137	1	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	137	2	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	137	1	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	137	2	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₁₃₇	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	—	137	1	no	—
210	#95	—	137	2	no	—
211	#95	—	137	2	no	—
212	#95	—	137	2	no	—
213	#95	—	137	2	no	—
214	#95	—	137	2	no	—
215	C₂⁴	—	137	1	no	—
216	C₂⁴	C₂²×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	274	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	274	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	274	32	no	—
222	C₂×Q₈	—	274	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	274	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	274	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	137	4	no	—
226	C₂×Q₈	C₂²⋊D₁₃₇	1	4	yes	complemented
227	C₂×D₄	—	274	2	no	—
228	C₂×D₄	—	274	2	no	—
229	C₂×D₄	—	137	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	274	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	274	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	274	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	274	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	274	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	137	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	137	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	137	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	137	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	137	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	137	4	no	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₇	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₇	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	274	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	274	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	274	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	274	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	274	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	274	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	274	4	no	—
258	C₄²	—	274	2	no	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	—	2	1	no	—
264	C₂³	—	2	1	no	—
265	C₂³	—	274	1	no	—
266	C₂³	—	274	1	no	—
267	C₂³	—	274	1	no	—
268	C₂³	—	274	1	no	—
269	C₂³	—	137	2	no	—
270	C₂³	—	137	2	no	—
271	C₂³	—	137	2	no	—
272	C₂³	Q₈×D₁₃₇	1	2	yes	complemented
273	C₂³	C₂³×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	2	8	no	—
275	Q₈	—	274	16	no	—
276	Q₈	—	274	8	no	—
277	D₄	—	274	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	274	16	no	—
288	C₂×C₄	—	274	1	no	—
289	C₂×C₄	—	274	2	no	—
290	C₂×C₄	—	274	1	no	—
291	C₂×C₄	—	274	2	no	—
292	C₂×C₄	—	274	1	no	—
293	C₂×C₄	—	274	1	no	—
294	C₂×C₄	—	274	8	no	—
295	C₂×C₄	—	274	1	no	—
296	C₂×C₄	—	274	2	no	—
297	C₂×C₄	—	274	2	no	—
298	C₂×C₄	—	274	1	no	—
299	C₂×C₄	—	274	1	no	—
300	C₂×C₄	—	274	2	no	—
301	C₂×C₄	—	137	4	no	—
302	C₂×C₄	—	137	2	no	—
303	C₂×C₄	—	137	2	no	—
304	C₂×C₄	D₄×D₁₃₇	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	D₄×D₁₃₇	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊D₁₃₇	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊D₁₃₇	1	2	yes	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	4	1	no	—
312	C₂²	—	4	1	no	—
313	C₂²	—	4	1	no	—
314	C₂²	—	4	1	no	—
315	C₂²	—	274	2	no	—
316	C₂²	—	274	2	no	—
317	C₂²	—	274	2	no	—
318	C₂²	—	274	2	no	—
319	C₂²	—	274	2	no	—
320	C₂²	—	274	2	no	—
321	C₂²	—	137	4	no	—
322	C₂²	C₂×D₄×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×D₄×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂²×C₂²⋊D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×Q₈×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#41×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#17984135	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#17984136	1	1	yes	characteristic
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	4	1	no	—
332	C₄	—	274	4	no	—
333	C₄	—	274	2	no	—
334	C₄	—	274	2	no	—
335	C₄	—	548	1	no	—
336	C₄	—	548	2	no	—
337	C₄	#17984056	1	4	yes	—
338	C₂	—	4	2	no	—
339	C₂	—	274	4	no	—
340	C₂	C₂×#17984056	1	1	yes	characteristic
341	C₂	C₂²⋊Q₈×D₁₃₇	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#22577976	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#22578060	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#22578063	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#22578066	1	1	yes	characteristic
346	C₂	Q₈×C₂²⋊D₁₃₇	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₁₃₇
commutator, socle, cosocle	C₂³×C₁₃₇	C₂⁴
Fitting	C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₃₇	C₂
prime radical	C₂²×C₂²⋊D₁₃₇	C₂²
hypercenter	C₂×C₂²⋊Q₈	D₁₃₇
hypocenter	C₁₃₇	#2409
LCS	G ▷ C₂³×C₁₃₇ ▷ C₁₃₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₂²⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×Q₈×D₁₃₇	C₂	semidirect
2. C₂×#17984067	C₂	semidirect
4. #22577323	C₂	semidirect
5. #22577315	C₂	semidirect
6. #22577310	C₂	semidirect
7. #22577308	C₂	semidirect
9. #22577274	C₂	semidirect
10. #22577260	C₂	semidirect
11. C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₃₇	C₂	semidirect
47. C₂×Dic₂₇₄	D₄	semidirect
51. C₂×C₂²⋊D₁₃₇	Q₈	semidirect
74. C₂×Q₈×C₁₃₇	D₄	semidirect
109. C₂×Dic₁₃₇	C₂×Q₈	semidirect
118. C₂³×C₁₃₇	C₂×Q₈	semidirect
154. C₂×D₁₃₇	C₂²⋊Q₈	semidirect
173. C₁₃₇	#2409	semidirect
177. C₂×C₂²⋊Q₈	D₁₃₇	semidirect
226. C₂×Q₈	C₂²⋊D₁₃₇	semidirect
272. C₂³	Q₈×D₁₃₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×Q₈×D₁₃₇	2
C₂×#17984067	2
C₂×C₄×C₂²⋊D₁₃₇	2
#22577323	2
#22577315	2
#22577310	2
#22577308	2
#22577279	2
#22577274	2
#22577260	2
C₂×C₂²⋊Q₈×C₁₃₇	2
#2409	137