Subgroups — #31996815

Order 18176.

2118 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄²×D₇₁	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#17986022	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#17985962	C₂	1	2	yes	maximal
4	#22588319	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#22588034	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₇₁×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×C₄×D₇₁	C₄	1	2	yes	—
8	C₂³×C₄×D₇₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#11765849	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×Dic₇₁	C₄	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄×Dic₇₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄²×D₇₁	—	2	8	no	—
13	C₂×C₄²×D₇₁	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₄²×D₇₁	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄²×D₇₁	C₂²	1	4	yes	—
16	#17986022	—	2	8	no	—
17	C₂×Dic₇₁⋊C₈	C₂²	1	8	yes	complemented
18	#17985962	—	2	8	no	—
19	C₂×(C₂×D₇₁)⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
20	#17985754	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂²×M₁₆×C₇₁	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₇₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#336×C₇₁	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂⁴×D₇₁	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×Dic₇₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
26	C₂³×Dic₇₁	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄×D₇₁	—	2	8	no	—
28	C₂²×C₄×D₇₁	—	2	16	no	—
29	C₂²×C₄×D₇₁	—	2	4	no	—
30	C₂²×C₄×D₇₁	—	2	4	no	—
31	C₂²×C₄×D₇₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂²×C₄×D₇₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄×D₇₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂²×C₄×D₇₁	D₄	1	4	yes	—
35	C₂²×C₄×D₇₁	Q₈	1	4	yes	—
36	C₂²×C₄×D₇₁	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#11765849	—	2	4	no	—
38	C₂×#11765849	—	2	4	no	—
39	C₂×#11765849	—	2	4	no	—
40	C₂²×C₇₁⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×C₄×Dic₇₁	—	2	8	no	—
42	C₂×C₄×Dic₇₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×Dic₇₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄×Dic₇₁	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×Dic₇₁	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×Dic₇₁	D₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₇₁	C₂³	1	2	yes	—
48	C₄²×D₇₁	—	2	8	no	—
49	C₄²×D₇₁	—	2	8	no	—
50	C₄²×D₇₁	—	2	16	no	—
51	Dic₇₁⋊C₈	—	2	16	no	—
52	(C₂×D₇₁)⋊C₈	—	2	16	no	—
53	C₂³×C₄×C₇₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄×C₇₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×M₁₆×C₇₁	—	2	4	no	—
56	C₂×M₁₆×C₇₁	—	2	4	no	—
57	C₂×M₁₆×C₇₁	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₈×C₇₁	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄²×C₇₁	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄²×C₇₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄²×C₇₁	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×D₇₁	—	2	2	no	—
63	C₂³×D₇₁	—	2	2	no	—
64	C₂³×D₇₁	—	2	8	no	—
65	C₂³×D₇₁	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
66	C₂³×D₇₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×Dic₇₁	—	2	2	no	—
68	C₂²×Dic₇₁	—	2	2	no	—
69	C₂²×Dic₇₁	—	2	8	no	—
70	C₂²×Dic₇₁	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
71	C₂²×Dic₇₁	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
72	C₂²×Dic₇₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×Dic₇₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×Dic₇₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×D₇₁	—	2	64	no	—
76	C₂×C₄×D₇₁	—	2	8	no	—
77	C₂×C₄×D₇₁	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×D₇₁	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×D₇₁	—	2	16	no	—
80	C₂×C₄×D₇₁	—	2	16	no	—
81	C₂×C₄×D₇₁	—	2	8	no	—
82	C₂×C₄×D₇₁	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×D₇₁	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×D₇₁	—	2	8	no	—
85	C₂×C₄×D₇₁	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄×D₇₁	—	2	8	no	—
87	C₂×C₄×D₇₁	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
88	C₂×C₄×D₇₁	M₁₆	1	16	yes	complemented
89	C₂×C₄×D₇₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂×C₄×D₇₁	C₂×Q₈	1	4	yes	—
91	#11765849	—	4	8	no	—
92	C₂×C₇₁⋊C₈	—	2	4	no	—
93	C₂×C₇₁⋊C₈	—	2	4	no	—
94	C₂×C₇₁⋊C₈	—	2	4	no	—
95	C₄×Dic₇₁	—	2	8	no	—
96	C₄×Dic₇₁	—	2	8	no	—
97	C₄×Dic₇₁	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
98	C₄×Dic₇₁	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
99	C₄×Dic₇₁	C₂×D₄	1	8	yes	—
100	C₂⁴×C₇₁	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₄×C₇₁	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₄×C₇₁	—	2	8	no	—
103	C₂²×C₄×C₇₁	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂²×C₄×C₇₁	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₄×C₇₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂²×C₄×C₇₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₄×C₇₁	C₂×Q₈	1	2	yes	—
108	C₂²×C₄×C₇₁	#41	1	4	yes	—
109	C₂²×C₄×C₇₁	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	M₁₆×C₇₁	—	4	8	no	—
111	C₂×C₈×C₇₁	—	2	4	no	—
112	C₂×C₈×C₇₁	—	2	4	no	—
113	C₂×C₈×C₇₁	—	2	4	no	—
114	C₄²×C₇₁	—	2	4	no	—
115	C₄²×C₇₁	—	2	4	no	—
116	C₂³×C₇₁	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₇₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₇₁	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₇₁	#117	1	2	yes	—
120	C₂³×C₇₁	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×D₇₁	—	2	16	no	—
122	C₂²×D₇₁	—	2	16	no	—
123	C₂²×D₇₁	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₇₁	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₇₁	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₇₁	—	2	8	no	—
127	C₂²×D₇₁	—	2	16	no	—
128	C₂²×D₇₁	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₂²×D₇₁	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
130	C₂×C₄×C₇₁	—	2	16	no	—
131	C₂×C₄×C₇₁	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄×C₇₁	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₇₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₇₁	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₇₁	#117	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₇₁	#121	1	8	yes	—
137	C₂×C₄×C₇₁	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
138	C₂×C₄×C₇₁	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
139	C₂×C₄×C₇₁	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₇₁	C₂²×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₇₁	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₇₁	C₂×#41	1	2	yes	—
143	C₂×Dic₇₁	—	2	2	no	—
144	C₂×Dic₇₁	—	2	2	no	—
145	C₂×Dic₇₁	—	2	4	no	—
146	C₂×Dic₇₁	—	2	8	no	—
147	C₂×Dic₇₁	—	2	16	no	—
148	C₂×Dic₇₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
149	C₂×Dic₇₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₂×Dic₇₁	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₂×Dic₇₁	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
152	C₄×D₇₁	—	2	32	no	—
153	C₄×D₇₁	—	2	8	no	—
154	C₄×D₇₁	—	2	8	no	—
155	C₄×D₇₁	—	2	16	no	—
156	C₄×D₇₁	—	2	32	no	—
157	C₈×C₇₁	—	4	4	no	—
158	C₇₁⋊C₈	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₇₁	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₇₁	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₇₁	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₇₁	#380	1	4	yes	—
163	C₂²×C₇₁	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₇₁	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₇₁	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₇₁	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
167	C₂×D₇₁	—	2	32	no	—
168	C₂×D₇₁	—	2	8	no	—
169	C₂×D₇₁	—	2	4	no	—
170	C₂×D₇₁	—	2	8	no	—
171	C₂×D₇₁	—	2	4	no	—
172	C₂×D₇₁	#423	1	8	yes	complemented
173	C₄×C₇₁	—	2	8	no	—
174	C₄×C₇₁	#380	1	4	yes	—
175	C₄×C₇₁	C₂×#121	1	2	yes	—
176	C₄×C₇₁	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
177	Dic₇₁	—	2	4	no	—
178	Dic₇₁	—	2	4	no	—
179	Dic₇₁	#407	1	8	yes	complemented
180	#20626	—	71	1	no	maximal, Sylow
181	C₂×C₇₁	—	2	4	no	—
182	C₂×C₇₁	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₇₁	C₂×#407	1	2	yes	—
184	C₂×C₇₁	C₂×#423	1	2	yes	—
185	C₂×C₇₁	#2920	1	2	yes	—
186	D₇₁	—	2	8	no	—
187	C₂³×C₄²	—	71	1	no	—
188	C₂×#423	—	71	2	no	—
189	C₂×#407	—	71	2	no	—
190	#1797	—	71	8	no	—
191	#1728	—	71	1	no	—
192	#1728	D₇₁	1	1	yes	characteristic, complemented
193	C₇₁	#20626	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
194	C₂⁴×C₄	—	71	1	no	—
195	C₂⁴×C₄	—	71	2	no	—
196	C₂²×M₁₆	—	71	2	no	—
197	C₂²×M₁₆	C₂×D₇₁	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄²	—	71	1	no	—
199	C₂²×C₄²	—	71	2	no	—
200	C₂²×C₄²	—	71	2	no	—
201	C₂²×C₄²	—	71	2	no	—
202	C₂²×C₄²	—	71	4	no	—
203	C₂²×C₄²	—	142	8	no	—
204	C₂²×C₄²	C₂×D₇₁	1	1	yes	characteristic
205	#423	—	142	8	no	—
206	C₂×C₄⋊C₈	—	71	8	no	—
207	#407	—	142	8	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₈	—	71	8	no	—
209	#336	—	71	4	no	—
210	#336	C₂×D₇₁	1	4	yes	complemented
211	C₂⁵	—	71	1	no	—
212	C₂³×C₄	—	71	2	no	—
213	C₂³×C₄	—	71	1	no	—
214	C₂³×C₄	—	71	4	no	—
215	C₂³×C₄	—	71	2	no	—
216	C₂³×C₄	—	71	4	no	—
217	C₂³×C₄	—	71	4	no	—
218	C₂³×C₄	—	71	2	no	—
219	C₂³×C₄	—	71	4	no	—
220	C₂³×C₄	—	142	16	no	—
221	C₂³×C₄	—	142	8	no	—
222	C₂³×C₄	—	142	4	no	—
223	C₂³×C₄	—	142	4	no	—
224	C₂³×C₄	C₄×D₇₁	1	2	yes	—
225	C₂³×C₄	C₂²×D₇₁	1	1	yes	characteristic
226	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
227	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
228	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
229	C₂×M₁₆	—	142	4	no	—
230	C₂×M₁₆	—	142	4	no	—
231	C₂×M₁₆	—	142	4	no	—
232	C₂²×C₈	—	71	4	no	—
233	C₂²×C₈	C₂²×D₇₁	1	4	yes	—
234	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄²	—	71	1	no	—
236	C₂×C₄²	—	71	1	no	—
237	C₂×C₄²	—	71	8	no	—
238	C₂×C₄²	—	71	2	no	—
239	C₂×C₄²	—	71	4	no	—
240	C₂×C₄²	—	71	4	no	—
241	C₂×C₄²	—	142	16	no	—
242	C₂×C₄²	—	142	8	no	—
243	C₂×C₄²	—	142	8	no	—
244	C₂×C₄²	—	142	8	no	—
245	C₂×C₄²	C₄×D₇₁	1	2	yes	—
246	C₂×C₄²	C₂²×D₇₁	1	2	yes	—
247	C₄⋊C₈	—	142	16	no	—
248	C₂²⋊C₈	—	142	16	no	—
249	C₂⁴	—	71	2	no	—
250	C₂⁴	—	71	4	no	—
251	C₂⁴	—	142	8	no	—
252	C₂⁴	—	142	2	no	—
253	C₂⁴	—	142	2	no	—
254	C₂⁴	C₂×C₄×D₇₁	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	71	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	71	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	71	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	71	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	71	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	71	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	71	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	71	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	71	16	no	—
266	C₂²×C₄	—	142	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	142	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	142	8	no	—
269	C₂²×C₄	—	142	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	142	64	no	—
271	C₂²×C₄	—	142	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	142	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	142	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	142	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	142	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	142	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	142	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	142	16	no	—
279	C₂²×C₄	—	142	16	no	—
280	C₂²×C₄	—	142	8	no	—
281	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₇₁	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₇₁	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	D₄×D₇₁	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	D₄×D₇₁	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	Q₈×D₇₁	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#11765865	1	4	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂³×D₇₁	1	1	yes	characteristic
288	M₁₆	—	4	8	no	—
289	M₁₆	—	284	8	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	142	4	no	—
294	C₂×C₈	—	142	4	no	—
295	C₂×C₈	—	142	4	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	71	8	no	—
299	C₄²	—	71	4	no	—
300	C₄²	—	71	4	no	—
301	C₄²	—	142	8	no	—
302	C₄²	—	142	8	no	—
303	C₂³	—	2	4	no	—
304	C₂³	—	71	4	no	—
305	C₂³	—	71	8	no	—
306	C₂³	—	142	16	no	—
307	C₂³	—	142	16	no	—
308	C₂³	—	142	16	no	—
309	C₂³	—	142	8	no	—
310	C₂³	—	142	2	no	—
311	C₂³	—	142	2	no	—
312	C₂³	—	142	4	no	—
313	C₂³	C₂²⋊C₄×D₇₁	1	2	yes	—
314	C₂³	C₄⋊C₄×D₇₁	1	2	yes	—
315	C₂³	#14556085	1	2	yes	—
316	C₂³	C₂²×C₄×D₇₁	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	—	2	16	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	71	4	no	—
321	C₂×C₄	—	71	8	no	—
322	C₂×C₄	—	71	4	no	—
323	C₂×C₄	—	71	4	no	—
324	C₂×C₄	—	142	32	no	—
325	C₂×C₄	—	142	32	no	—
326	C₂×C₄	—	142	16	no	—
327	C₂×C₄	—	142	8	no	—
328	C₂×C₄	—	142	2	no	—
329	C₂×C₄	—	142	2	no	—
330	C₂×C₄	—	142	4	no	—
331	C₂×C₄	—	142	16	no	—
332	C₂×C₄	—	142	8	no	—
333	C₂×C₄	—	142	8	no	—
334	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₇₁	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₇₁	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#14556085	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#14556101	1	8	yes	—
338	C₂×C₄	#14556106	1	8	yes	—
339	C₂×C₄	M₁₆×D₇₁	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×D₄×D₇₁	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×D₄×D₇₁	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₇₁	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#11765865	1	2	yes	—
344	C₈	—	4	4	no	—
345	C₈	—	284	4	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	71	8	no	—
350	C₂²	—	142	32	no	—
351	C₂²	—	142	4	no	—
352	C₂²	—	142	8	no	—
353	C₂²	—	142	8	no	—
354	C₂²	—	142	4	no	—
355	C₂²	#17985858	1	4	yes	—
356	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₇₁	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₇₁	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#14556085	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×M₁₆×D₇₁	1	4	yes	—
360	C₄	—	2	8	no	—
361	C₄	—	71	8	no	—
362	C₄	—	142	4	no	—
363	C₄	—	142	4	no	—
364	C₄	#17985858	1	4	yes	—
365	C₄	C₂×#14556101	1	2	yes	—
366	C₄	C₂×#14556106	1	2	yes	—
367	C₂	—	2	4	no	—
368	C₂	—	142	8	no	—
369	C₂	C₂×#17985858	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#407×D₇₁	1	2	yes	—
371	C₂	#423×D₇₁	1	2	yes	—
372	C₂	#22596971	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₇₁
commutator, socle	C₂³×C₇₁	C₂³×C₄
Fitting	C₇₁×#1728	C₂
prime radical	C₂⁴×D₇₁	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₇₁	C₂⁴
hypercenter	#1728	D₇₁
hypocenter	C₇₁	#20626
LCS	G ▷ C₂³×C₇₁ ▷ C₇₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#17986022	C₂	semidirect
4. #22588319	C₂	semidirect
5. #22588034	C₂	semidirect
6. C₇₁×#1728	C₂	semidirect
17. C₂×Dic₇₁⋊C₈	C₂²	semidirect
20. #17985754	C₂²	semidirect
23. #336×C₇₁	C₂²	semidirect
88. C₂×C₄×D₇₁	M₁₆	semidirect
172. C₂×D₇₁	#423	semidirect
179. Dic₇₁	#407	semidirect
192. #1728	D₇₁	semidirect
193. C₇₁	#20626	semidirect
210. #336	C₂×D₇₁	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄²×D₇₁	2
C₂×#17986022	2
C₂×#17985962	2
#22588319	2
#22588034	2
C₇₁×#1728	2
#20626	71