Subgroups — #34102812

Order 20096.

556 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 288 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#19097747	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#19097728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#23757180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#23757169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#23757168	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#23757164	C₂	1	2	yes	maximal
7	#23757163	C₂	1	2	yes	maximal
8	#23757157	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#23757130	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₄×C₄⋊Dic₁₅₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×C₄×Q₈×C₁₅₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×C₄×D₁₅₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#19097747	C₄	1	8	yes	complemented
14	#19097728	—	2	4	no	—
15	C₂×C₄⋊Dic₁₅₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄⋊Dic₁₅₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#14578933	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#14578933	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#14578933	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#14578933	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#14578931	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#14578931	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#14578931	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#14578931	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×Dic₁₅₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×Dic₁₅₇	C₂²	1	2	yes	—
27	#19097678	C₂²	1	2	yes	—
28	#19097678	C₂²	1	2	yes	—
29	#19097678	C₂²	1	2	yes	—
30	#19097678	C₂²	1	2	yes	—
31	#19097678	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×Q₈×C₁₅₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×Q₈×C₁₅₇	—	2	4	no	—
34	C₂×C₄⋊C₄×C₁₅₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄⋊C₄×C₁₅₇	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄²×C₁₅₇	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄²×C₁₅₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×D₁₅₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×Dic₁₅₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×Dic₁₅₇	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×Dic₁₅₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×Dic₁₅₇	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×Dic₁₅₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×D₁₅₇	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₁₅₇	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×D₁₅₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₄⋊Dic₁₅₇	—	2	2	no	—
48	C₄⋊Dic₁₅₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	#14578933	—	2	2	no	—
50	#14578933	—	2	2	no	—
51	#14578933	—	4	2	no	—
52	#14578933	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	#14578931	—	2	2	no	—
54	#14578931	—	2	2	no	—
55	#14578931	—	4	2	no	—
56	#14578931	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₄×Dic₁₅₇	—	2	2	no	—
58	C₄×Dic₁₅₇	—	4	2	no	—
59	C₂×Q₈×C₁₅₇	—	2	2	no	—
60	C₂×Q₈×C₁₅₇	—	2	2	no	—
61	C₂×Q₈×C₁₅₇	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂²×C₄×C₁₅₇	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄×C₁₅₇	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄×C₁₅₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄×C₁₅₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₁₅₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₄⋊C₄×C₁₅₇	—	2	4	no	—
68	C₄⋊C₄×C₁₅₇	—	2	2	no	—
69	C₄²×C₁₅₇	—	2	4	no	—
70	C₄²×C₁₅₇	D₄	1	4	yes	—
71	C₂²×D₁₅₇	—	2	1	no	—
72	C₂²×D₁₅₇	—	2	1	no	—
73	C₂²×D₁₅₇	—	2	1	no	—
74	C₂²×D₁₅₇	—	2	1	no	—
75	C₂²×D₁₅₇	—	2	1	no	—
76	C₂²×D₁₅₇	—	2	1	no	—
77	C₂²×D₁₅₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×Dic₁₅₇	—	2	1	no	—
79	C₂×Dic₁₅₇	—	2	1	no	—
80	C₂×Dic₁₅₇	—	2	2	no	—
81	C₂×Dic₁₅₇	—	2	2	no	—
82	C₂×Dic₁₅₇	—	2	1	no	—
83	C₂×Dic₁₅₇	—	2	1	no	—
84	C₂×Dic₁₅₇	—	2	2	no	—
85	C₂×Dic₁₅₇	—	2	2	no	—
86	C₂×Dic₁₅₇	—	2	1	no	—
87	C₂×Dic₁₅₇	—	2	1	no	—
88	C₂×Dic₁₅₇	—	2	1	no	—
89	C₂×Dic₁₅₇	—	2	1	no	—
90	C₂×Dic₁₅₇	—	2	2	no	—
91	C₂×Dic₁₅₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×Dic₁₅₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₄×D₁₅₇	—	2	8	no	—
94	C₂³×C₁₅₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	Q₈×C₁₅₇	—	2	8	no	—
96	C₂×C₄×C₁₅₇	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×C₁₅₇	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₁₅₇	—	2	1	no	—
99	C₂×C₄×C₁₅₇	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄×C₁₅₇	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×C₁₅₇	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×C₁₅₇	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄×C₁₅₇	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄×C₁₅₇	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄×C₁₅₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂×C₄×C₁₅₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₁₅₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₁₅₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₁₅₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₁₅₇	#41	1	2	yes	—
111	C₂²×C₁₅₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₁₅₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₁₅₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₁₅₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₁₅₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₁₅₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₁₅₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
118	C₂×D₁₅₇	—	2	2	no	—
119	C₂×D₁₅₇	—	2	2	no	—
120	C₂×D₁₅₇	—	2	2	no	—
121	C₂×D₁₅₇	—	4	1	no	—
122	C₂×D₁₅₇	—	4	1	no	—
123	C₂×D₁₅₇	—	4	1	no	—
124	C₂×D₁₅₇	—	4	1	no	—
125	C₄×C₁₅₇	—	2	4	no	—
126	C₄×C₁₅₇	—	2	2	no	—
127	C₄×C₁₅₇	—	2	2	no	—
128	C₄×C₁₅₇	—	4	2	no	—
129	C₄×C₁₅₇	C₄×D₄	1	4	yes	—
130	Dic₁₅₇	—	2	2	no	—
131	Dic₁₅₇	—	2	4	no	—
132	Dic₁₅₇	—	4	1	no	—
133	Dic₁₅₇	—	4	1	no	—
134	Dic₁₅₇	—	4	2	no	—
135	C₂×C₁₅₇	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₁₅₇	#519	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₁₅₇	#520	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₁₅₇	#536	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₁₅₇	#537	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₁₅₇	#541	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₁₅₇	#542	1	1	yes	characteristic
142	D₁₅₇	—	4	2	no	—
143	C₁₅₇	#2323	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
144	#2323	—	157	1	no	maximal, Sylow
145	C₂×C₂²⋊Q₈	—	157	1	no	—
146	C₂×C₄×Q₈	D₁₅₇	1	1	yes	characteristic, complemented
147	C₂×#117	—	157	1	no	—
148	#391	—	157	1	no	—
149	#389	—	157	2	no	—
150	#389	—	157	1	no	—
151	#388	—	157	2	no	—
152	#388	—	157	2	no	—
153	#387	—	157	2	no	—
154	#380	—	157	1	no	—
155	C₄×C₄⋊C₄	—	157	1	no	—
156	C₂²×Q₈	C₂×D₁₅₇	1	1	yes	characteristic
157	C₂³×C₄	—	157	1	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	157	8	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
160	#117	—	314	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	157	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	157	1	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	157	1	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	157	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	157	1	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	157	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₅₇	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₅₇	1	2	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	157	1	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	157	1	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	157	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	157	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	157	1	no	—
174	C₂×C₄²	—	157	2	no	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₁₅₇	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₁₅₇	1	1	yes	characteristic
177	#95	—	157	2	no	—
178	#95	—	157	2	no	—
179	#95	—	157	2	no	—
180	#95	—	157	2	no	—
181	#95	—	157	2	no	—
182	C₂⁴	—	157	1	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×Q₈	C₄×D₁₅₇	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	—	314	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	314	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	157	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	157	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	157	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	157	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	157	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	157	4	no	—
194	C₂²×C₄	C₂²×D₁₅₇	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×D₁₅₇	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×D₁₅₇	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×D₁₅₇	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×D₁₅₇	1	1	yes	characteristic
199	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₄	—	314	2	no	—
202	C₄⋊C₄	—	314	2	no	—
203	C₄⋊C₄	—	314	2	no	—
204	C₄⋊C₄	—	628	2	no	—
205	C₄⋊C₄	—	157	8	no	—
206	C₄⋊C₄	—	157	4	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	314	2	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	314	2	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	628	2	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	157	8	no	—
211	C₄²	—	2	4	no	—
212	C₄²	—	314	2	no	—
213	C₄²	—	628	2	no	—
214	C₄²	C₂²⋊D₁₅₇	1	4	yes	—
215	C₂³	—	314	1	no	—
216	C₂³	—	314	1	no	—
217	C₂³	—	314	1	no	—
218	C₂³	—	314	1	no	—
219	C₂³	—	314	1	no	—
220	C₂³	—	314	1	no	—
221	C₂³	—	157	2	no	—
222	C₂³	C₂³×D₁₅₇	1	1	yes	characteristic
223	Q₈	—	2	8	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	314	1	no	—
234	C₂×C₄	—	314	1	no	—
235	C₂×C₄	—	314	2	no	—
236	C₂×C₄	—	314	2	no	—
237	C₂×C₄	—	314	8	no	—
238	C₂×C₄	—	314	1	no	—
239	C₂×C₄	—	314	1	no	—
240	C₂×C₄	—	314	2	no	—
241	C₂×C₄	—	314	2	no	—
242	C₂×C₄	—	314	1	no	—
243	C₂×C₄	—	314	1	no	—
244	C₂×C₄	—	314	1	no	—
245	C₂×C₄	—	314	1	no	—
246	C₂×C₄	—	314	2	no	—
247	C₂×C₄	—	157	4	no	—
248	C₂×C₄	—	157	2	no	—
249	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₅₇	1	4	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₅₇	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊D₁₅₇	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊D₁₅₇	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊D₁₅₇	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	#14578954	1	2	yes	—
255	C₂²	—	314	2	no	—
256	C₂²	—	314	2	no	—
257	C₂²	—	314	2	no	—
258	C₂²	—	628	1	no	—
259	C₂²	—	628	1	no	—
260	C₂²	—	628	1	no	—
261	C₂²	—	628	1	no	—
262	C₂²	C₂²×C₄×D₁₅₇	1	1	yes	characteristic
263	C₂²	C₂²×C₂²⋊D₁₅₇	1	1	yes	characteristic
264	C₂²	C₂×#14578954	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	#19097817	1	1	yes	characteristic
266	C₂²	#19097818	1	1	yes	characteristic
267	C₂²	#19097819	1	1	yes	characteristic
268	C₂²	#19097819	1	1	yes	characteristic
269	C₄	—	2	2	no	—
270	C₄	—	2	2	no	—
271	C₄	—	2	4	no	—
272	C₄	—	4	2	no	—
273	C₄	—	314	2	no	—
274	C₄	—	314	4	no	—
275	C₄	—	628	1	no	—
276	C₄	—	628	1	no	—
277	C₄	—	628	2	no	—
278	C₄	C₄×C₂²⋊D₁₅₇	1	4	yes	—
279	C₂	—	628	2	no	—
280	C₂	C₂×C₄×C₂²⋊D₁₅₇	1	1	yes	characteristic
281	C₂	#23757749	1	1	yes	characteristic
282	C₂	#23757755	1	1	yes	characteristic
283	C₂	#23757847	1	1	yes	characteristic
284	C₂	#23757851	1	1	yes	characteristic
285	C₂	#23757881	1	1	yes	characteristic
286	C₂	#23757895	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₁₅₇
commutator	C₂²×C₁₅₇	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₄×Q₈×C₁₅₇	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₁₅₇	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₁₅₇	C₂³
hypercenter	C₂×C₄×Q₈	D₁₅₇
hypocenter	C₁₅₇	#2323
LCS	G ▷ C₂²×C₁₅₇ ▷ C₁₅₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #23757180	C₂	semidirect
4. #23757169	C₂	semidirect
5. #23757168	C₂	semidirect
8. #23757157	C₂	semidirect
10. C₄×C₄⋊Dic₁₅₇	C₂	semidirect
11. C₂×C₄×Q₈×C₁₅₇	C₂	semidirect
13. #19097747	C₄	semidirect
143. C₁₅₇	#2323	semidirect
146. C₂×C₄×Q₈	D₁₅₇	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#19097747	2
C₂×#19097728	2
#23757180	2
#23757169	2
#23757168	2
#23757164	2
#23757163	2
#23757157	2
#23757130	2
C₄×C₄⋊Dic₁₅₇	2
C₂×C₄×Q₈×C₁₅₇	2
#2323	157