Subgroups — #36326832

Order 21376.

668 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#19128807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×D₆₆₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#19128789	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#24923171	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#24923170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#24923168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#24923160	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#24923147	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#24923143	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#24923126	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×C₄⋊C₄×C₁₆₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₆₆₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×D₆₆₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×D₁₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×D₁₆₇	C₂²	1	2	yes	—
16	#19128807	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₄×D₆₆₈	—	2	4	no	—
18	#19128789	—	2	4	no	—
19	C₂×C₄⋊Dic₁₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊Dic₁₆₇	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×Dic₁₆₇⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×Dic₁₆₇⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×Dic₁₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₁₆₇⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
32	C₁₆₇⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄⋊C₄×C₁₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄⋊C₄×C₁₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄²×C₁₆₇	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄²×C₁₆₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#95×C₁₆₇	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂³×D₁₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×D₁₆₇	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×D₆₆₈	—	2	2	no	—
41	C₂×D₆₆₈	—	2	2	no	—
42	C₂×D₆₆₈	—	4	2	no	—
43	C₂×D₆₆₈	—	4	2	no	—
44	C₂×D₆₆₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×D₆₆₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
46	C₂²×Dic₁₆₇	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×Dic₁₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×Dic₁₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×Dic₁₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₁₆₇	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₁₆₇	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×D₁₆₇	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₁₆₇	—	4	2	no	—
54	C₂×C₄×D₁₆₇	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄×D₁₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
56	C₄⋊Dic₁₆₇	—	2	2	no	—
57	C₄⋊Dic₁₆₇	—	4	2	no	—
58	Dic₁₆₇⋊C₄	—	2	2	no	—
59	Dic₁₆₇⋊C₄	—	2	2	no	—
60	(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	—	2	2	no	—
61	(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	—	2	2	no	—
62	(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
63	(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	—	4	2	no	—
64	(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	—	4	2	no	—
65	(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	—	4	2	no	—
66	(C₂×D₁₆₇)⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	C₄×Dic₁₆₇	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄×C₁₆₇	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₁₆₇	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₁₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄×C₁₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₁₆₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₄⋊C₄×C₁₆₇	—	2	2	no	—
74	C₄⋊C₄×C₁₆₇	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
75	C₄²×C₁₆₇	—	4	2	no	—
76	C₄²×C₁₆₇	D₄	1	4	yes	complemented
77	C₂²×D₁₆₇	—	2	1	no	—
78	C₂²×D₁₆₇	—	2	2	no	—
79	C₂²×D₁₆₇	—	2	1	no	—
80	C₂²×D₁₆₇	—	2	2	no	—
81	C₂²×D₁₆₇	—	2	1	no	—
82	C₂²×D₁₆₇	—	2	2	no	—
83	C₂²×D₁₆₇	—	2	2	no	—
84	C₂²×D₁₆₇	—	2	2	no	—
85	C₂²×D₁₆₇	—	2	1	no	—
86	C₂²×D₁₆₇	—	2	1	no	—
87	C₂²×D₁₆₇	—	2	1	no	—
88	C₂²×D₁₆₇	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₁₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
90	C₂²×D₁₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	D₆₆₈	—	2	8	no	—
92	D₆₆₈	—	4	8	no	—
93	C₂×Dic₁₆₇	—	2	1	no	—
94	C₂×Dic₁₆₇	—	2	1	no	—
95	C₂×Dic₁₆₇	—	2	1	no	—
96	C₂×Dic₁₆₇	—	2	1	no	—
97	C₂×Dic₁₆₇	—	2	2	no	—
98	C₂×Dic₁₆₇	—	2	1	no	—
99	C₂×Dic₁₆₇	—	2	1	no	—
100	C₂×Dic₁₆₇	—	2	2	no	—
101	C₂×Dic₁₆₇	—	2	1	no	—
102	C₂×Dic₁₆₇	—	2	2	no	—
103	C₂×Dic₁₆₇	—	2	1	no	—
104	C₂×Dic₁₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₄×D₁₆₇	—	2	8	no	—
106	C₄×D₁₆₇	—	4	8	no	—
107	C₂³×C₁₆₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₁₆₇	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₁₆₇	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₁₆₇	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₁₆₇	—	2	1	no	—
112	C₂×C₄×C₁₆₇	—	2	1	no	—
113	C₂×C₄×C₁₆₇	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄×C₁₆₇	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₁₆₇	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₁₆₇	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₁₆₇	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₁₆₇	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₁₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₁₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₁₆₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₁₆₇	#41	1	2	yes	—
123	C₂²×C₁₆₇	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₁₆₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₁₆₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₁₆₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₁₆₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₁₆₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₁₆₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂×D₁₆₇	—	2	2	no	—
131	C₂×D₁₆₇	—	2	4	no	—
132	C₂×D₁₆₇	—	2	2	no	—
133	C₂×D₁₆₇	—	2	4	no	—
134	C₂×D₁₆₇	—	2	2	no	—
135	C₂×D₁₆₇	—	2	4	no	—
136	C₂×D₁₆₇	—	4	2	no	—
137	C₂×D₁₆₇	—	4	1	no	—
138	C₂×D₁₆₇	—	4	1	no	—
139	C₂×D₁₆₇	—	4	2	no	—
140	C₂×D₁₆₇	—	4	1	no	—
141	C₂×D₁₆₇	—	4	2	no	—
142	C₂×D₁₆₇	—	4	1	no	—
143	C₂×D₁₆₇	—	4	2	no	—
144	C₄×C₁₆₇	—	2	4	no	—
145	C₄×C₁₆₇	—	2	2	no	—
146	C₄×C₁₆₇	—	2	2	no	—
147	C₄×C₁₆₇	—	4	2	no	—
148	C₄×C₁₆₇	C₄×D₄	1	4	yes	—
149	Dic₁₆₇	—	2	2	no	—
150	Dic₁₆₇	—	4	2	no	—
151	Dic₁₆₇	—	4	1	no	—
152	Dic₁₆₇	—	4	1	no	—
153	C₂×C₁₆₇	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₁₆₇	#518	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₁₆₇	#520	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₁₆₇	#535	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₁₆₇	#537	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₁₆₇	#540	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₁₆₇	#542	1	1	yes	characteristic
160	D₁₆₇	—	4	2	no	—
161	D₁₆₇	—	4	4	no	—
162	C₁₆₇	#2324	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
163	#2324	—	167	1	no	maximal, Sylow
164	C₂×#121	—	167	1	no	—
165	C₂×C₄×D₄	—	167	1	no	—
166	C₂×#117	—	167	1	no	—
167	#390	—	167	1	no	—
168	#390	—	167	2	no	—
169	#389	—	167	1	no	—
170	#388	—	167	2	no	—
171	#386	—	167	2	no	—
172	#385	—	167	2	no	—
173	#380	—	167	1	no	—
174	C₄×C₄⋊C₄	D₁₆₇	1	1	yes	characteristic, complemented
175	C₂²×D₄	—	167	1	no	—
176	C₂²×D₄	—	167	2	no	—
177	C₂³×C₄	—	167	1	no	—
178	C₂³×C₄	—	167	2	no	—
179	#121	—	167	8	no	—
180	C₄×D₄	—	334	4	no	—
181	#117	—	334	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	167	1	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	167	1	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	167	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	167	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₆₇	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₁₆₇	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	167	1	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	167	1	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	167	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	167	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	167	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	167	2	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	167	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	167	1	no	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₁₆₇	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₁₆₇	1	1	yes	characteristic
198	#95	—	167	2	no	—
199	#95	—	167	2	no	—
200	#95	C₂×D₁₆₇	1	2	yes	—
201	C₂⁴	—	167	1	no	—
202	C₂⁴	—	167	2	no	—
203	C₂×D₄	—	334	2	no	—
204	C₂×D₄	—	334	2	no	—
205	C₂×D₄	—	668	2	no	—
206	C₂×D₄	—	668	2	no	—
207	C₂×D₄	—	167	4	no	—
208	C₂×D₄	—	167	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	334	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	334	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	334	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	668	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	668	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	167	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	167	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	167	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	167	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	167	4	no	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₁₆₇	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₁₆₇	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₁₆₇	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₁₆₇	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₁₆₇	1	1	yes	characteristic
224	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	334	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	334	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	334	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	668	2	no	—
229	C₄⋊C₄	C₄×D₁₆₇	1	4	yes	complemented
230	C₂²⋊C₄	—	334	2	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	334	2	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	334	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	668	2	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	668	2	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	668	2	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	167	8	no	—
237	C₄²	—	4	2	no	—
238	C₄²	—	334	2	no	—
239	C₄²	D₆₆₈	1	4	yes	complemented
240	C₂³	—	334	1	no	—
241	C₂³	—	334	2	no	—
242	C₂³	—	334	1	no	—
243	C₂³	—	334	2	no	—
244	C₂³	—	334	2	no	—
245	C₂³	—	334	1	no	—
246	C₂³	—	334	1	no	—
247	C₂³	—	334	2	no	—
248	C₂³	—	334	2	no	—
249	C₂³	—	334	1	no	—
250	C₂³	—	334	1	no	—
251	C₂³	—	334	2	no	—
252	C₂³	—	167	4	no	—
253	C₂³	—	167	2	no	—
254	C₂³	C₂³×D₁₆₇	1	1	yes	characteristic
255	D₄	—	334	8	no	—
256	D₄	—	668	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	334	1	no	—
267	C₂×C₄	—	334	1	no	—
268	C₂×C₄	—	334	8	no	—
269	C₂×C₄	—	334	1	no	—
270	C₂×C₄	—	334	1	no	—
271	C₂×C₄	—	334	2	no	—
272	C₂×C₄	—	334	1	no	—
273	C₂×C₄	—	334	1	no	—
274	C₂×C₄	—	334	2	no	—
275	C₂×C₄	—	334	1	no	—
276	C₂×C₄	—	334	2	no	—
277	C₂×C₄	—	334	1	no	—
278	C₂×C₄	—	668	8	no	—
279	C₂×C₄	—	167	2	no	—
280	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₆₇	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×C₄×D₁₆₇	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×D₆₆₈	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×D₆₆₈	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×D₆₆₈	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#14581950	1	2	yes	—
286	C₂²	—	334	2	no	—
287	C₂²	—	334	4	no	—
288	C₂²	—	334	2	no	—
289	C₂²	—	334	4	no	—
290	C₂²	—	334	2	no	—
291	C₂²	—	334	4	no	—
292	C₂²	—	668	2	no	—
293	C₂²	—	668	1	no	—
294	C₂²	—	668	1	no	—
295	C₂²	—	668	2	no	—
296	C₂²	—	668	1	no	—
297	C₂²	—	668	2	no	—
298	C₂²	—	668	1	no	—
299	C₂²	—	668	2	no	—
300	C₂²	C₂²×C₄×D₁₆₇	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂²×D₆₆₈	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂×#14581950	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#19128877	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	#19128878	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#19128878	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#19128880	1	1	yes	characteristic
307	C₄	—	2	4	no	—
308	C₄	—	2	2	no	—
309	C₄	—	2	2	no	—
310	C₄	—	4	2	no	—
311	C₄	—	334	2	no	—
312	C₄	—	668	2	no	—
313	C₄	—	668	1	no	—
314	C₄	—	668	1	no	—
315	C₄	C₄×D₆₆₈	1	4	yes	—
316	C₂	—	668	2	no	—
317	C₂	—	668	4	no	—
318	C₂	C₂×C₄×D₆₆₈	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#24923741	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#24923751	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#24923838	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#24923850	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#24923870	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#24923891	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₁₆₇
commutator	C₂²×C₁₆₇	C₂³×C₄
Fitting	C₄×C₄⋊C₄×C₁₆₇	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₁₆₇	C₂⁴
prime radical	C₂×#19128807	C₂
hypercenter	C₄×C₄⋊C₄	D₁₆₇
hypocenter	C₁₆₇	#2324
LCS	G ▷ C₂²×C₁₆₇ ▷ C₁₆₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×D₆₆₈	C₂	semidirect
3. C₂×#19128789	C₂	semidirect
4. #24923171	C₂	semidirect
5. #24923170	C₂	semidirect
6. #24923168	C₂	semidirect
7. #24923160	C₂	semidirect
8. #24923147	C₂	semidirect
9. #24923143	C₂	semidirect
10. #24923126	C₂	semidirect
11. C₄×C₄⋊C₄×C₁₆₇	C₂	semidirect
16. #19128807	C₄	semidirect
45. C₂×D₆₆₈	C₂×C₄	semidirect
55. C₂×C₄×D₁₆₇	C₂×C₄	semidirect
66. (C₂×D₁₆₇)⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
74. C₄⋊C₄×C₁₆₇	C₂×C₄	semidirect
76. C₄²×C₁₆₇	D₄	semidirect
162. C₁₆₇	#2324	semidirect
174. C₄×C₄⋊C₄	D₁₆₇	semidirect
229. C₄⋊C₄	C₄×D₁₆₇	semidirect
239. C₄²	D₆₆₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#19128807	2
C₂×C₄×D₆₆₈	2
C₂×#19128789	2
#24923171	2
#24923170	2
#24923168	2
#24923160	2
#24923147	2
#24923143	2
#24923126	2
C₄×C₄⋊C₄×C₁₆₇	2
#2324	167