Subgroups — #123×#10621924 #36370028

Order 22144.

688 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×#10621924	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄×#10621924	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#26012441	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#26012440	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#26012439	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#26012438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#26012434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄⋊C₄×#10621924	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²⋊C₄×#10621924	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²⋊C₄×#10621924	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#123×D₁₇₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂³×#10621924	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×#10621924	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×#10621924	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	D₄×#10621924	—	2	4	no	—
16	C₂×C₄⋊#10621924	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄⋊#10621924	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₂²⋊#10621924	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₂²⋊#10621924	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊#10621924	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₂²⋊#10621924	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×#10621924	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄×#10621924	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×#10621924	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×#10621924	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×#10621924	C₂²	1	2	yes	—
27	(C₂×#10621924)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	(C₂×#10621924)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	(C₂×#10621924)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	(C₂×#10621924)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	(C₂×#10621924)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×D₄×D₁₇₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄×D₁₇₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#19149664	C₄	1	2	yes	complemented
35	#19149663	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
36	#19149662	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#19149661	C₄	1	2	yes	complemented
38	#19149660	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
39	C₄⋊C₄×D₁₇₃	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²⋊C₄×D₁₇₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²⋊C₄×D₁₇₃	C₂²	1	2	yes	—
42	#123×C₁₇₃	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
43	C₂²×#10621924	—	2	4	no	—
44	C₂²×#10621924	—	2	4	no	—
45	C₂²×#10621924	—	2	2	no	—
46	C₂²×#10621924	—	2	4	no	—
47	C₂²×#10621924	—	2	2	no	—
48	C₂²×#10621924	D₄	1	4	yes	—
49	C₂²×#10621924	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×#10621924	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×#10621924	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×#10621924	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×#10621924	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×#10621924	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₄⋊#10621924	—	2	2	no	—
56	C₄⋊#10621924	—	2	4	no	—
57	C₂²⋊#10621924	—	2	2	no	—
58	C₂²⋊#10621924	—	2	4	no	—
59	C₂²⋊#10621924	—	2	2	no	—
60	C₂²⋊#10621924	—	2	2	no	—
61	C₄×#10621924	—	2	4	no	—
62	C₄×#10621924	—	2	4	no	—
63	C₄×#10621924	—	2	2	no	—
64	C₄×#10621924	—	2	4	no	—
65	C₂³×D₁₇₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×D₁₇₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×D₆₉₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊D₁₇₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₂²⋊D₁₇₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	D₄×D₁₇₃	—	2	2	no	—
71	D₄×D₁₇₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×Dic₁₇₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
73	C₂×C₄×D₁₇₃	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×D₁₇₃	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×D₁₇₃	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
76	C₂×C₄×D₁₇₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×D₁₇₃	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×D₁₇₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₄⋊Dic₁₇₃	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
80	#14583805	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
81	#14583805	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
82	C₂²⋊Dic₁₇₃	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
83	C₂²⋊Dic₁₇₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
84	#14583803	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
85	#14583803	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
86	#14583803	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
87	C₂×D₄×C₁₇₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₁₇₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
89	C₄⋊C₄×C₁₇₃	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
90	C₂²⋊C₄×C₁₇₃	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
91	C₂²⋊C₄×C₁₇₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
92	C₂×#10621924	—	2	8	no	—
93	C₂×#10621924	—	2	2	no	—
94	C₂×#10621924	—	2	2	no	—
95	C₂×#10621924	—	2	2	no	—
96	C₂×#10621924	—	2	8	no	—
97	C₂×#10621924	—	2	1	no	—
98	C₂×#10621924	—	2	1	no	—
99	C₂×#10621924	—	2	2	no	—
100	C₂×#10621924	—	2	2	no	—
101	C₂×#10621924	—	2	2	no	—
102	C₂×#10621924	—	2	2	no	—
103	C₂×#10621924	—	2	2	no	—
104	C₂×#10621924	—	4	4	no	—
105	C₂×#10621924	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂×#10621924	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂×#10621924	#41	1	4	yes	—
108	C₂×#10621924	#41	1	4	yes	—
109	C₂²×D₁₇₃	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₁₇₃	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₁₇₃	—	2	1	no	—
112	C₂²×D₁₇₃	—	2	1	no	—
113	C₂²×D₁₇₃	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₁₇₃	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₁₇₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₁₇₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₁₇₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×D₁₇₃	#41	1	2	yes	—
119	C₂²×D₁₇₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	D₆₉₂	—	2	2	no	—
121	C₂²⋊D₁₇₃	—	2	2	no	—
122	C₂²⋊D₁₇₃	—	2	2	no	—
123	C₂×Dic₁₇₃	—	2	2	no	—
124	C₂×Dic₁₇₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂×Dic₁₇₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×Dic₁₇₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₄×D₁₇₃	—	2	4	no	—
128	C₄×D₁₇₃	—	2	2	no	—
129	C₄×D₁₇₃	—	2	1	no	—
130	C₄×D₁₇₃	—	2	2	no	—
131	C₄×D₁₇₃	—	2	1	no	—
132	C₄×D₁₇₃	—	2	2	no	—
133	C₄×D₁₇₃	—	2	2	no	—
134	C₂³×C₁₇₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₁₇₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	D₄×C₁₇₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₁₇₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₁₇₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₁₇₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₁₇₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₁₇₃	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₁₇₃	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₁₇₃	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₁₇₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₁₇₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×D₁₇₃	—	2	2	no	—
147	C₂×D₁₇₃	—	2	2	no	—
148	C₂×D₁₇₃	—	2	2	no	—
149	C₂×D₁₇₃	—	2	4	no	—
150	C₂×D₁₇₃	—	2	1	no	—
151	C₂×D₁₇₃	—	2	2	no	—
152	C₂×D₁₇₃	—	4	1	no	—
153	C₂×D₁₇₃	—	4	1	no	—
154	C₂×D₁₇₃	—	4	2	no	—
155	C₂×D₁₇₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×D₁₇₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×D₁₇₃	C₂×#41	1	2	yes	—
158	C₂×D₁₇₃	C₂×#41	1	2	yes	—
159	C₂×D₁₇₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
160	#10621924	—	2	2	no	—
161	#10621924	—	2	4	no	—
162	#10621924	—	4	1	no	—
163	#10621924	—	4	1	no	—
164	#10621924	—	4	2	no	—
165	#10621924	#123	1	4	yes	direct product factor
166	C₄×C₁₇₃	—	2	2	no	—
167	C₄×C₁₇₃	—	2	1	no	—
168	C₄×C₁₇₃	—	2	2	no	—
169	Dic₁₇₃	—	2	2	no	—
170	Dic₁₇₃	—	2	1	no	—
171	Dic₁₇₃	—	2	2	no	—
172	C₂×C₁₇₃	—	2	2	no	—
173	C₂×C₁₇₃	—	4	1	no	—
174	C₂×C₁₇₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₁₇₃	C₄×#41	1	2	yes	—
176	D₁₇₃	—	2	2	no	—
177	D₁₇₃	—	4	1	no	—
178	D₁₇₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
179	D₁₇₃	#525	1	1	yes	characteristic
180	D₁₇₃	#529	1	2	yes	—
181	C₁₇₃	C₄×#123	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
182	C₄×#123	—	173	1	no	maximal, Sylow
183	C₂×#123	—	173	1	no	—
184	C₂×C₄×D₄	—	173	1	no	—
185	C₂²×C₄²	—	173	1	no	—
186	#388	—	173	2	no	—
187	#387	—	173	2	no	—
188	#386	—	173	1	no	—
189	#385	—	173	1	no	—
190	#381	—	173	1	no	—
191	C₄×C₄⋊C₄	—	173	2	no	—
192	C₄×C₂²⋊C₄	—	173	2	no	—
193	C₄×C₂²⋊C₄	—	173	1	no	—
194	C₂²×D₄	—	173	1	no	—
195	C₂³×C₄	—	173	1	no	—
196	C₂³×C₄	—	173	1	no	—
197	C₂³×C₄	—	173	1	no	—
198	C₂³×C₄	—	173	1	no	—
199	#123	—	173	1	no	—
200	#123	—	173	1	no	—
201	#123	—	173	2	no	—
202	#123	—	173	2	no	—
203	#123	—	173	1	no	—
204	#123	#10621924	1	1	yes	characteristic, direct product factor
205	C₄×D₄	—	346	4	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	173	1	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	173	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	173	2	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	173	1	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	173	1	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	173	1	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	173	2	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	173	1	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	173	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	346	4	no	—
216	C₂×C₄²	—	173	1	no	—
217	C₂×C₄²	—	173	2	no	—
218	C₂×C₄²	—	173	2	no	—
219	C₂×C₄²	—	173	2	no	—
220	#95	—	173	2	no	—
221	#95	—	173	2	no	—
222	#95	—	173	2	no	—
223	#95	—	173	2	no	—
224	#95	—	173	2	no	—
225	C₂⁴	—	173	1	no	—
226	C₂⁴	—	173	1	no	—
227	C₂×D₄	—	346	2	no	—
228	C₂×D₄	—	346	2	no	—
229	C₂×D₄	—	173	1	no	—
230	C₂×D₄	—	173	1	no	—
231	C₂×D₄	—	173	1	no	—
232	C₂×D₄	C₂×#10621924	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	—	346	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	346	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	346	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	346	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	346	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	346	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	346	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	173	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	173	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	173	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	173	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	173	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	173	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	173	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	173	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	173	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	173	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	173	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	173	1	no	—
252	C₂²×C₄	C₂×#10621924	1	1	yes	characteristic, complemented
253	C₄⋊C₄	—	346	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	346	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	173	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	173	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	173	2	no	—
258	C₄⋊C₄	C₂×#10621924	1	2	yes	complemented
259	C₂²⋊C₄	—	346	2	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	346	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	346	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	346	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	173	1	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	173	2	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	173	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	173	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	173	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	C₂×#10621924	1	1	yes	characteristic, complemented
269	C₂²⋊C₄	C₂×#10621924	1	2	yes	complemented
270	C₄²	—	346	4	no	—
271	C₄²	—	346	4	no	—
272	C₄²	—	346	4	no	—
273	C₄²	—	346	2	no	—
274	C₂³	—	346	2	no	—
275	C₂³	—	346	2	no	—
276	C₂³	—	346	1	no	—
277	C₂³	—	346	2	no	—
278	C₂³	—	346	2	no	—
279	C₂³	—	346	1	no	—
280	C₂³	—	173	1	no	—
281	C₂³	—	173	2	no	—
282	C₂³	—	173	2	no	—
283	C₂³	—	173	1	no	—
284	C₂³	—	173	1	no	—
285	C₂³	C₂²×#10621924	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂²×#10621924	1	1	yes	characteristic
287	D₄	—	2	2	no	—
288	D₄	—	346	2	no	—
289	D₄	—	346	2	no	—
290	D₄	—	346	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	346	2	no	—
293	C₂×C₄	—	346	1	no	—
294	C₂×C₄	—	346	2	no	—
295	C₂×C₄	—	346	2	no	—
296	C₂×C₄	—	346	4	no	—
297	C₂×C₄	—	346	2	no	—
298	C₂×C₄	—	346	1	no	—
299	C₂×C₄	—	346	8	no	—
300	C₂×C₄	—	346	2	no	—
301	C₂×C₄	—	346	2	no	—
302	C₂×C₄	—	346	2	no	—
303	C₂×C₄	—	346	2	no	—
304	C₂×C₄	—	346	8	no	—
305	C₂×C₄	—	346	1	no	—
306	C₂×C₄	—	346	2	no	—
307	C₂×C₄	—	346	1	no	—
308	C₂×C₄	—	346	2	no	—
309	C₂×C₄	—	346	2	no	—
310	C₂×C₄	—	346	2	no	—
311	C₂×C₄	—	346	2	no	—
312	C₂×C₄	—	173	2	no	—
313	C₂×C₄	—	173	4	no	—
314	C₂×C₄	—	173	2	no	—
315	C₂×C₄	—	173	2	no	—
316	C₂×C₄	—	173	1	no	—
317	C₂×C₄	—	173	2	no	—
318	C₂×C₄	—	173	4	no	—
319	C₂×C₄	—	692	4	no	—
320	C₂×C₄	C₂²×#10621924	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×#10621924	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×#10621924	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	346	2	no	—
327	C₂²	—	346	2	no	—
328	C₂²	—	346	4	no	—
329	C₂²	—	346	2	no	—
330	C₂²	—	346	1	no	—
331	C₂²	—	346	2	no	—
332	C₂²	—	173	2	no	—
333	C₂²	—	173	1	no	—
334	C₂²	—	173	1	no	—
335	C₂²	—	173	2	no	—
336	C₂²	—	173	2	no	—
337	C₂²	—	692	1	no	—
338	C₂²	—	692	1	no	—
339	C₂²	—	692	2	no	—
340	C₂²	D₄×#10621924	1	2	yes	—
341	C₂²	C₂³×#10621924	1	1	yes	characteristic
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	346	2	no	—
346	C₄	—	346	4	no	—
347	C₄	—	346	2	no	—
348	C₄	—	346	1	no	—
349	C₄	—	346	2	no	—
350	C₄	—	173	4	no	—
351	C₄	—	692	1	no	—
352	C₄	—	692	1	no	—
353	C₄	—	692	2	no	—
354	C₂	—	2	2	no	—
355	C₂	—	4	1	no	—
356	C₂	—	346	2	no	—
357	C₂	—	173	1	no	—
358	C₂	—	173	1	no	—
359	C₂	—	173	2	no	—
360	C₂	—	692	1	no	—
361	C₂	C₂×D₄×#10621924	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#41×#10621924	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂³×#10621924
commutator, socle	C₂²×C₁₇₃	C₂³×C₄
Fitting	#123×C₁₇₃	C₄
prime radical	C₂×D₄×D₁₇₃	C₂²
cosocle	C₂²×D₁₇₃	C₂⁴
hypercenter	#123	#10621924
hypocenter	C₁₇₃	C₄×#123
LCS	G ▷ C₂²×C₁₇₃ ▷ C₁₇₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #123

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄×#10621924	C₂	semidirect
3. #26012441	C₂	semidirect
4. #26012440	C₂	semidirect
6. #26012438	C₂	semidirect
7. #26012434	C₂	semidirect
8. C₄⋊C₄×#10621924	C₂	semidirect
9. C₂²⋊C₄×#10621924	C₂	semidirect
10. C₂²⋊C₄×#10621924	C₂	semidirect
34. #19149664	C₄	semidirect
35. #19149663	C₄	semidirect
36. #19149662	C₄	semidirect
37. #19149661	C₄	semidirect
38. #19149660	C₄	semidirect
42. #123×C₁₇₃	C₄	semidirect
72. C₂²×Dic₁₇₃	C₂×C₄	semidirect
75. C₂×C₄×D₁₇₃	C₂×C₄	semidirect
79. C₄⋊Dic₁₇₃	C₂×C₄	semidirect
80. #14583805	C₂×C₄	semidirect
81. #14583805	C₂×C₄	semidirect
82. C₂²⋊Dic₁₇₃	C₂×C₄	semidirect
83. C₂²⋊Dic₁₇₃	C₂×C₄	semidirect
84. #14583803	C₂×C₄	semidirect
85. #14583803	C₂×C₄	semidirect
86. #14583803	C₂×C₄	semidirect
88. C₂²×C₄×C₁₇₃	C₂×C₄	semidirect
89. C₄⋊C₄×C₁₇₃	C₂×C₄	semidirect
90. C₂²⋊C₄×C₁₇₃	C₂×C₄	semidirect
91. C₂²⋊C₄×C₁₇₃	C₂×C₄	semidirect
165. #10621924	#123	direct (N × H)
181. C₁₇₃	C₄×#123	semidirect
204. #123	#10621924	direct (N × H)
252. C₂²×C₄	C₂×#10621924	semidirect
258. C₄⋊C₄	C₂×#10621924	semidirect
268. C₂²⋊C₄	C₂×#10621924	semidirect
269. C₂²⋊C₄	C₂×#10621924	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×#10621924	2
C₂²×C₄×#10621924	2
#26012441	2
#26012440	2
#26012439	2
#26012438	2
#26012434	2
C₄⋊C₄×#10621924	2
C₂²⋊C₄×#10621924	2
#123×D₁₇₃	2
C₄×#123	173