Finite Group Databasebeta

← S4×SL(2,𝔽7) #72228105

Subgroups — S4×SL(2,𝔽7) #72228105

Order 8064.

406 conjugacy classes of subgroups; only the 13 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 406 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 13 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#subgroupG/Hclass sizemultiplicitynormal?properties
1D4×SL(2,𝔽7)—31nomaximal
2A4×SL(2,𝔽7)C211yesmaximal, characteristic, complemented
3D3×SL(2,𝔽7)—41nomaximal
4C22×SL(2,𝔽7)—31no—
5C22×SL(2,𝔽7)D311yescharacteristic, complemented
6C4×SL(2,𝔽7)—31no—
7S4×#226—72nomaximal, Hall
8C2×ΓL(1,𝔽8)×S4—81nomaximal
9C3×SL(2,𝔽7)—41no—
10C2×SL(2,𝔽7)—31no—
11C2×SL(2,𝔽7)—61no—
12A4⋊#226—72no—
13SL(2,𝔽3)×S4—72no—
14A4×#226—72no—
15C2×A4×ΓL(1,𝔽8)—81no—
16ΓL(1,𝔽8)×S4—82no—
17Q16×S4—211no—
18D4×#226—212no—
19C2×C7×S4—81no—
20C2×D4×ΓL(1,𝔽8)—241no—
21SL(2,𝔽7)S411yescharacteristic, direct product factor
22A4×SL(2,𝔽3)—72no—
23Dic3×S4—281no—
24D3×#226—282no—
25C2×D3×ΓL(1,𝔽8)—321no—
26A4×ΓL(1,𝔽8)—81no—
27#5930—422no—
28Q8×S4—72no—
29C22×#226—72no—
30C22×#226—212no—
31A4×Q16—211no—
32D4×SL(2,𝔽3)—212no—
33#5419—212no—
34#5419—212no—
35#5416—212no—
36C8×S4—211no—
37#5398—211no—
38C4⋊#226—212no—
39C4×#226—212no—
40C2×C22⋊ΓL(1,𝔽8)—161no—
41C2×C7×A4—81no—
42C23×ΓL(1,𝔽8)—81no—
43C23×ΓL(1,𝔽8)—241no—
44C7×S4—82no—
45D4×ΓL(1,𝔽8)—242no—
46D4×ΓL(1,𝔽8)—242no—
47C2×C4×ΓL(1,𝔽8)—241no—
48C2×C3×S4—281no—
49Dic3×A4—281no—
50D3×SL(2,𝔽3)—282no—
51C3⋊SL(2,ℤ/4)—281no—
52C3⋊#226—282no—
53C3×#226—282no—
54D4×Q16—631noSylow
55C2×C3×ΓL(1,𝔽8)—321no—
56D3×ΓL(1,𝔽8)—322no—
57C2×C7×D4—241no—
58C22⋊SL(2,𝔽3)—142no—
59Q8×A4—72no—
60C22×SL(2,𝔽3)—72no—
61C22×SL(2,𝔽3)—212no—
62C2×#226—212no—
63C2×#226—212no—
64C2×#226—212no—
65C2×#226—422no—
66C2×#226—422no—
67C4×S4—211no—
68A4⋊Q8—212no—
69D4×Dic3—841no—
70D3×Q16—841no—
71C8×A4—211no—
72C4×SL(2,𝔽3)—212no—
73#859—212no—
74A4⋊C8—211no—
75C2×D3×C7—321no—
76C22⋊ΓL(1,𝔽8)—161no—
77C7×A4—81no—
78C22×ΓL(1,𝔽8)—81no—
79C22×ΓL(1,𝔽8)—241no—
80C22×ΓL(1,𝔽8)—241no—
81C22×ΓL(1,𝔽8)—242no—
82C22×ΓL(1,𝔽8)—481no—
83C22×ΓL(1,𝔽8)—481no—
84C4×ΓL(1,𝔽8)—242no—
85C2×C3×A4—281no—
86C3×S4—282no—
87C3×SL(2,𝔽3)—282no—
88D3×Dic3—1121no—
89C22×Q16—211no—
90C22×Q16—631no—
91D4×Q8—212no—
92#494—631no—
93#467—631no—
94#467—631no—
95#462—632no—
96#451—632no—
97#451—632no—
98C4×Q16—631no—
99C8×D4—631no—
100C3×ΓL(1,𝔽8)—321noHall
101C23×C7—81no—
102C23×C7—241no—
103C7×D4—242no—
104C7×D4—242no—
105C2×C4×C7—241no—
106C2×S4GL(3,𝔽2)11yesmaximal normal, characteristic
107C2×C3×D4—841no—
108C22×Dic3—281no—
109C22×Dic3—841no—
110D3×Q8—282no—
111C2×SL(2,𝔽3)—212no—
112C2×SL(2,𝔽3)—422no—
113C4×A4—211no—
114SL(2,ℤ/4)—211no—
115SL(2,ℤ/4)—1681no—
116#226—72no—
117#226—212no—
118#226—422no—
119#226—1682no—
120#226—1682no—
121C3×Q16—841no—
122#217—841no—
123#217—841no—
124#216—842no—
125C4⋊Dic3—841no—
126C4×Dic3—841no—
127Dic12—841no—
128D3×C8—841no—
129C2×C3×C7—321no—
130D3×C7—322no—
131C2×ΓL(1,𝔽8)—81no—
132C2×ΓL(1,𝔽8)—241no—
133C2×ΓL(1,𝔽8)—241no—
134C2×ΓL(1,𝔽8)—482no—
135C2×ΓL(1,𝔽8)—641no—
136C2×C3×D3—1121no—
137C3×A4—281no—
138C3⋊Dic3—1121no—
139C3×Dic3—1121no—
140C22×Q8—72no—
141C22×Q8—212no—
142C2×Q16—631no—
143C2×Q16—632no—
144C2×Q16—631no—
145C2×Q16—632no—
146C2×Q16—631no—
147C2×Q16—632no—
148C2×Q16—1261no—
149C2×Q16—1262no—
150C2×Q16—1261no—
151C22×C8—211no—
152C22×C8—631no—
153C4⋊Q8—632no—
154C22⋊Q8—632no—
155C22⋊Q8—632no—
156C4×Q8—212no—
157C4×D4—631no—
158#107—631no—
159C4⋊C8—631no—
160#103—632no—
161#103—632no—
162#103—632no—
163C22⋊C8—631no—
164C22⋊C8—631no—
165C4×C8—631no—
166C22×C7—81no—
167C22×C7—241no—
168C22×C7—241no—
169C22×C7—242no—
170C22×C7—481no—
171C22×C7—481no—
172C4×C7—242no—
173C23×C3—281no—
174C23×C3—841no—
175C2×A4—561no—
176C2×A4C2×GL(3,𝔽2)11yescharacteristic
177S4SL(2,𝔽7)12yesdirect product factor
178C3×Q8—282no—
179C3×D4—842no—
180C3×D4—842no—
181C2×C3×C4—841no—
182C2×Dic3—841no—
183C2×Dic3—841no—
184C2×Dic3—841no—
185C2×Dic3—841no—
186C2×Dic3—1681no—
187C2×Dic3—1681no—
188C4×D3—841no—
189Dic6—842no—
190SL(2,𝔽3)—72no—
191SL(2,𝔽3)—562no—
192SL(2,𝔽3)—1682no—
193C3×C8—841no—
194C3⋊C8—841no—
195C3×C7—321no—
196ΓL(1,𝔽8)—81no—
197ΓL(1,𝔽8)—641no—
198C2×C32—1121no—
199C3×D3—1122no—
200C2×Q8—212no—
201C2×Q8—422no—
202C2×Q8—632no—
203C2×Q8—632no—
204C2×Q8—1262no—
205C2×D4—31no—
206C22×C4—211no—
207C22×C4—631no—
208Q16—211no—
209Q16—631no—
210Q16—632no—
211Q16—1261no—
212Q16—1261no—
213Q16—1261no—
214Q16—1262no—
215Q16—1262no—
216Q16—2522no—
217C2×C8—631no—
218C2×C8—631no—
219C2×C8—631no—
220C2×C8—631no—
221C2×C8—1261no—
222C2×C8—1261no—
223C4⋊C4—631no—
224C4⋊C4—632no—
225C4⋊C4—1262no—
226C22⋊C4—631no—
227C22⋊C4—631no—
228C42—631no—
229C2×C7—81no—
230C2×C7—241no—
231C2×C7—241no—
232C2×C7—482no—
233C22×C3—281no—
234C22×C3—841no—
235C22×C3—841no—
236C22×C3—842no—
237C22×C3—1681no—
238C22×C3—1681no—
239C2×D3—41no—
240A4—561no—
241A4C2×SL(2,𝔽7)11yescharacteristic, complemented
242C3×C4—842no—
243C3×C4—841no—
244Dic3—281no—
245Dic3—841no—
246Dic3—841no—
247Dic3—6721no—
248Dic3—1681no—
249Dic3—1681no—
250C32—1121noSylow
251C23—31no—
252C23D3×GL(3,𝔽2)11yescharacteristic
253Q8—72no—
254Q8—422no—
255Q8—632no—
256Q8—1262no—
257Q8—1262no—
258D4—32no—
259D4—32no—
260C2×C4—31no—
261C2×C4—631no—
262C2×C4—631no—
263C2×C4—631no—
264C2×C4—631no—
265C2×C4—1261no—
266C2×C4—1261no—
267C8—211no—
268C8—631no—
269C8—1261no—
270C8—1261no—
271C7—81noSylow
272C2×C3—41no—
273C2×C3—281no—
274C2×C3—841no—
275C2×C3—841no—
276C2×C3—1682no—
277C2×C3—2241no—
278D3—42no—
279C22—31no—
280C22—31no—
281C22—32no—
282C22—61no—
283C22—61no—
284C22D3×SL(2,𝔽7)11yescharacteristic, complemented
285C4—32no—
286C4—211no—
287C4—631no—
288C4—1261no—
289C4—1261no—
290C3—41no—
291C3—281no—
292C3—2241no—
293C2—31no—
294C2—31no—
295C2—62no—
296C2S4×GL(3,𝔽2)11yescharacteristic
subgroupG/H
center, Frattini, hypercenterC2S4×GL(3,𝔽2)
commutator, hypocenterA4×SL(2,𝔽7)C2
Fitting, socleC23D3×GL(3,𝔽2)
cosocleC2×A4C2×GL(3,𝔽2)
LCSG ▷ A4×SL(2,𝔽7)
UCSC1 ◁ C2

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

NH ≅ G/Ntype
2. A4×SL(2,𝔽7)C2semidirect
5. C22×SL(2,𝔽7)D3semidirect
21. SL(2,𝔽7)S4direct (N × H)
177. S4SL(2,𝔽7)direct (N × H)
241. A4C2×SL(2,𝔽7)semidirect
284. C22D3×SL(2,𝔽7)semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroupindex
D4×SL(2,𝔽7)3
A4×SL(2,𝔽7)2
D3×SL(2,𝔽7)4
S4×#2267
C2×ΓL(1,𝔽8)×S48