Finite Group Databasebeta

← #226×GL(3,𝔽2) #72228107

Subgroups — #226×GL(3,𝔽2) #72228107

Order 8064.

369 conjugacy classes of subgroups; only the 10 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 369 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 10 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#subgroupG/Hclass sizemultiplicitynormal?properties
1Q16×GL(3,𝔽2)—31nomaximal
2SL(2,𝔽3)×GL(3,𝔽2)C211yesmaximal, characteristic
3Dic3×GL(3,𝔽2)—41nomaximal
4Q8×GL(3,𝔽2)—31no—
5Q8×GL(3,𝔽2)D311yescharacteristic
6C8×GL(3,𝔽2)—31no—
7S4×#226—72nomaximal, Hall
8C2×C3×GL(3,𝔽2)—41no—
9ΓL(1,𝔽8)×#226—81nomaximal
10C4×GL(3,𝔽2)—31no—
11C4×GL(3,𝔽2)—61no—
12A4⋊#226—72no—
13SL(2,𝔽3)×S4—72no—
14A4×#226—72no—
15C3×GL(3,𝔽2)—41no—
16ΓL(1,𝔽8)×SL(2,𝔽3)—81no—
17Q16×S4—212no—
18D4×#226—211no—
19C2×GL(3,𝔽2)S411yescharacteristic
20C7×#226—81no—
21Q16×ΓL(1,𝔽8)—241no—
22A4×SL(2,𝔽3)—72no—
23Dic3×S4—282no—
24D3×#226—281no—
25Dic3×ΓL(1,𝔽8)—321no—
26#5930—422no—
27Q8×S4—72no—
28Q8×S4—212no—
29C22×#226—72no—
30A4×Q16—212no—
31D4×SL(2,𝔽3)—211no—
32#5419—212no—
33#5416—212no—
34#5416—212no—
35C8×S4—212no—
36#5398—212no—
37C4⋊#226—211no—
38C4×#226—211no—
39GL(3,𝔽2)#22611yescharacteristic, direct product factor
40C7⋊SL(2,𝔽3)—161no—
41C7×SL(2,𝔽3)—81no—
42Q8×ΓL(1,𝔽8)—81no—
43Q8×ΓL(1,𝔽8)—241no—
44C8×ΓL(1,𝔽8)—241no—
45C2×C3×S4—282no—
46Dic3×A4—282no—
47D3×SL(2,𝔽3)—281no—
48C3⋊SL(2,ℤ/4)—282no—
49C3⋊#226—281no—
50C3×#226—281no—
51D4×Q16—631noSylow
52C2×C3×ΓL(1,𝔽8)—321no—
53C7×Q16—241no—
54C22⋊SL(2,𝔽3)—142no—
55Q8×A4—72no—
56Q8×A4—212no—
57C22×SL(2,𝔽3)—72no—
58C2×#226—211no—
59C2×#226—212no—
60C4×S4—212no—
61C4×S4—422no—
62A4⋊Q8—212no—
63A4⋊Q8—212no—
64A4⋊Q8—422no—
65D4×Dic3—841no—
66D3×Q16—841no—
67C8×A4—212no—
68C4×SL(2,𝔽3)—211no—
69#859—211no—
70A4⋊C8—212no—
71C7×Dic3—321no—
72C4×ΓL(1,𝔽8)—241no—
73C4×ΓL(1,𝔽8)—481no—
74C2×C3×A4—282no—
75C3×S4—282no—
76C3×S4—282no—
77C3×SL(2,𝔽3)—281no—
78D3×Dic3—1121no—
79C22×Q16—212no—
80D4×Q8—211no—
81D4×Q8—631no—
82#494—631no—
83#467—632no—
84#462—631no—
85#462—631no—
86#451—632no—
87#451—632no—
88C4×Q16—631no—
89C8×D4—631no—
90C3×ΓL(1,𝔽8)—321noHall
91C7×Q8—81no—
92C7×Q8—241no—
93C7×C8—241no—
94C2×S4—72no—
95C2×C3×D4—841no—
96C22×Dic3—282no—
97D3×Q8—281no—
98D3×Q8—841no—
99C2×SL(2,𝔽3)—211no—
100C4×A4—212no—
101C4×A4—422no—
102SL(2,ℤ/4)—212no—
103SL(2,ℤ/4)—422no—
104SL(2,ℤ/4)—1682no—
105#226—211no—
106#226—1681no—
107#226—1682no—
108#226GL(3,𝔽2)11yesmaximal normal, characteristic, direct product factor
109C3×Q16—841no—
110#217—842no—
111#216—841no—
112#216—841no—
113C4⋊Dic3—841no—
114C4×Dic3—841no—
115Dic12—841no—
116D3×C8—841no—
117C2×C3×C7—321no—
118C2×ΓL(1,𝔽8)—81no—
119C2×ΓL(1,𝔽8)—641no—
120C2×C3×D3—1121no—
121C3×A4—282no—
122C3⋊Dic3—1121no—
123C3×Dic3—1121no—
124C22×Q8—72no—
125C22×Q8—212no—
126C2×Q16—631no—
127C2×Q16—632no—
128C2×Q16—632no—
129C2×Q16—632no—
130C2×Q16—632no—
131C22×C8—212no—
132C4⋊Q8—631no—
133C4⋊Q8—631no—
134C4⋊Q8—1261no—
135C22⋊Q8—632no—
136C22⋊Q8—632no—
137C22⋊Q8—1262no—
138C4×Q8—211no—
139C4×Q8—631no—
140C4×D4—631no—
141C4×D4—1261no—
142#107—631no—
143C4⋊C8—631no—
144#103—631no—
145#103—631no—
146#103—632no—
147#103—632no—
148C22⋊C8—632no—
149C4×C8—631no—
150C4×C7—241no—
151C4×C7—481no—
152C23×C3—282no—
153C2×A4—72no—
154C2×A4—562no—
155S4—72no—
156S4—72no—
157C3×Q8—281no—
158C3×Q8—841no—
159C3×D4—841no—
160C3×D4—842no—
161C3×D4—841no—
162C2×C3×C4—841no—
163C2×Dic3—841no—
164C2×Dic3—842no—
165C2×Dic3—841no—
166C4×D3—841no—
167C4×D3—1681no—
168Dic6—841no—
169Dic6—841no—
170Dic6—1681no—
171SL(2,𝔽3)—561no—
172SL(2,𝔽3)—1682no—
173SL(2,𝔽3)C2×GL(3,𝔽2)11yescharacteristic
174C3×C8—841no—
175C3⋊C8—841no—
176C3×C7—321no—
177ΓL(1,𝔽8)—81no—
178ΓL(1,𝔽8)—641no—
179C2×C32—1121no—
180C3×D3—1121no—
181C3×D3—1121no—
182C2×Q8—211no—
183C2×Q8—632no—
184C2×Q8—631no—
185C2×Q8—632no—
186C2×Q8—1262no—
187C2×D4—211no—
188C22×C4—212no—
189C22×C4—422no—
190Q16—31no—
191Q16—631no—
192Q16—631no—
193Q16—631no—
194Q16—1262no—
195Q16—2522no—
196C2×C8—631no—
197C2×C8—632no—
198C2×C8—631no—
199C4⋊C4—631no—
200C4⋊C4—631no—
201C4⋊C4—631no—
202C4⋊C4—1261no—
203C4⋊C4—1261no—
204C4⋊C4—1261no—
205C4⋊C4—1262no—
206C4⋊C4—1261no—
207C22⋊C4—632no—
208C22⋊C4—1262no—
209C42—631no—
210C42—1261no—
211C2×C7—81no—
212C22×C3—282no—
213C22×C3—841no—
214C22×C3—842no—
215C2×D3—281no—
216A4—72no—
217A4—562no—
218C3×C4—841no—
219C3×C4—841no—
220C3×C4—841no—
221C3×C4—1681no—
222Dic3—41no—
223Dic3—841no—
224Dic3—841no—
225Dic3—6721no—
226Dic3—1681no—
227Dic3—1681no—
228C32—1121noSylow
229C23—72no—
230Q8—31no—
231Q8—422no—
232Q8—631no—
233Q8—631no—
234Q8—1261no—
235Q8—1262no—
236Q8D3×GL(3,𝔽2)11yescharacteristic
237D4—211no—
238D4—212no—
239D4—211no—
240C2×C4—211no—
241C2×C4—631no—
242C2×C4—632no—
243C2×C4—631no—
244C2×C4—1261no—
245C2×C4—1262no—
246C2×C4—1261no—
247C8—31no—
248C8—631no—
249C8—1261no—
250C7—81noSylow
251C2×C3—41no—
252C2×C3—281no—
253C2×C3—841no—
254C2×C3—841no—
255C2×C3—2241no—
256D3—281no—
257D3—281no—
258C22—72no—
259C22—212no—
260C22—211no—
261C4—31no—
262C4—61no—
263C4—211no—
264C4—211no—
265C4—631no—
266C4—1261no—
267C4—1261no—
268C4—2521no—
269C3—41no—
270C3—281no—
271C3—2241no—
272C2—211no—
273C2—211no—
274C2S4×GL(3,𝔽2)11yescharacteristic
subgroupG/H
center, Frattini, hypercenterC2S4×GL(3,𝔽2)
commutator, prime radical, hypocenterSL(2,𝔽3)×GL(3,𝔽2)C2
FittingQ8D3×GL(3,𝔽2)
socleC2×GL(3,𝔽2)S4
cosocleSL(2,𝔽3)C2×GL(3,𝔽2)
LCSG ▷ SL(2,𝔽3)×GL(3,𝔽2)
UCSC1 ◁ C2

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

NH ≅ G/Ntype
39. GL(3,𝔽2)#226direct (N × H)
108. #226GL(3,𝔽2)direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroupindex
Q16×GL(3,𝔽2)3
SL(2,𝔽3)×GL(3,𝔽2)2
Dic3×GL(3,𝔽2)4
S4×#2267
ΓL(1,𝔽8)×#2268