Subgroups — #72229458

Order 2688.

892 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#90168⋊C₃	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄×M₁₆×ΓL(1,𝔽₈)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#89907⋊C₃	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#89483⋊C₃	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#89467⋊C₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#89466⋊C₃	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#89452⋊C₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#11735980	C₃	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented, Hall
9	C₂×#1157⋊C₃	—	2	2	no	—
10	C₂×M₁₆×ΓL(1,𝔽₈)	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄²×ΓL(1,𝔽₈)	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#6493⋊C₃	—	2	2	no	—
13	#6493⋊C₃	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×D₅₆⋊C₃	C₂²	1	4	yes	—
15	#6438⋊C₃	—	2	2	no	—
16	#10620710	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	—	2	2	no	—
18	C₄×C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	C₂²	1	4	yes	—
19	#6432⋊C₃	C₂²	1	2	yes	—
20	ΓL(1,𝔽₈)×#97	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×C₈×ΓL(1,𝔽₈)	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×C₈×ΓL(1,𝔽₈)	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#6395⋊C₃	C₂²	1	8	yes	—
24	#6391⋊C₃	C₂²	1	4	yes	—
25	#90168	C₂×C₃	1	2	yes	complemented
26	C₄×C₇×M₁₆	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic, complemented
27	#89907	C₂×C₃	1	4	yes	complemented
28	#89483	C₂×C₃	1	4	yes	complemented
29	#89467	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#89466	C₂×C₃	1	2	yes	complemented
31	#89452	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₃×#3184	—	7	1	no	maximal, Hall
33	C₂²×C₄×ΓL(1,𝔽₈)	D₄	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄×ΓL(1,𝔽₈)	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂×(C₂²⋊D₇)⋊C₃	—	2	4	no	—
36	#1157⋊C₃	—	4	8	no	—
37	C₂×C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×C₄×AGL(1,𝔽₇)	—	2	4	no	—
41	C₂×ΓL(1,𝔽₈)⋊Q₈	—	2	2	no	—
42	M₁₆×ΓL(1,𝔽₈)	—	2	4	no	—
43	C₂×C₈×ΓL(1,𝔽₈)	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₈×ΓL(1,𝔽₈)	C₂³	1	2	yes	—
45	C₄²×ΓL(1,𝔽₈)	D₄	1	2	yes	—
46	C₄²×ΓL(1,𝔽₈)	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₄²×ΓL(1,𝔽₈)	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	(C₂×AGL(1,𝔽₇))⋊C₄	—	2	4	no	—
49	(C₂×AGL(1,𝔽₇))⋊C₄	—	2	4	no	—
50	C₄⋊(ΓL(1,𝔽₈)⋊C₄)	—	2	2	no	—
51	C₄⋊(ΓL(1,𝔽₈)⋊C₄)	C₂³	1	4	yes	—
52	D₅₆⋊C₃	—	2	8	no	—
53	C₂×#1157	—	2	2	no	—
54	C₂×C₇×M₁₆	C₂²×C₃	1	2	yes	—
55	C₂×C₄²×C₇	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
56	#6493	—	2	2	no	—
57	#6493	C₂²×C₃	1	4	yes	—
58	C₂×D₅₆	C₂²×C₃	1	4	yes	—
59	#6438	—	2	2	no	—
60	#6437	C₂²×C₃	1	2	yes	—
61	C₄×D₂₈	—	2	2	no	—
62	C₄×D₂₈	C₂²×C₃	1	4	yes	—
63	#6432	C₂²×C₃	1	2	yes	—
64	C₇×#97	C₂²×C₃	1	2	yes	—
65	C₄×C₇×C₈	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
66	C₄×C₇×C₈	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
67	#6395	C₂²×C₃	1	8	yes	—
68	#6391	C₂²×C₃	1	4	yes	—
69	C₃×#532	—	7	2	no	—
70	C₃×#498	—	7	1	no	—
71	C₃×#493	—	7	1	no	—
72	C₃×#486	—	7	2	no	—
73	C₃×#469	—	7	4	no	—
74	C₃×#442	—	7	4	no	—
75	C₃×C₄×M₁₆	—	7	1	no	—
76	C₂³×ΓL(1,𝔽₈)	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×AGL(1,𝔽₇)	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×ΓL(1,𝔽₈)	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×ΓL(1,𝔽₈)	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×ΓL(1,𝔽₈)	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×ΓL(1,𝔽₈)	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×ΓL(1,𝔽₈)	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×ΓL(1,𝔽₈)	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	(C₂²⋊D₇)⋊C₃	—	4	8	no	—
85	C₂×ΓL(1,𝔽₈)⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	—	2	8	no	—
87	C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	—	4	4	no	—
88	C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	—	4	4	no	—
89	C₄×AGL(1,𝔽₇)	—	4	8	no	—
90	ΓL(1,𝔽₈)⋊Q₈	—	4	4	no	—
91	C₈×ΓL(1,𝔽₈)	—	2	2	no	—
92	C₈×ΓL(1,𝔽₈)	#41	1	4	yes	complemented
93	#3184	—	7	1	no	Sylow
94	C₂²×C₄×C₇	C₃×D₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄×C₇	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₂²⋊D₇	—	2	4	no	—
97	#1157	—	4	8	no	—
98	C₂×D₂₈	—	2	2	no	—
99	C₂×D₂₈	—	2	2	no	—
100	C₂×D₂₈	C₂³×C₃	1	4	yes	—
101	C₂×C₄×D₇	—	2	4	no	—
102	C₂×Dic₁₄	—	2	2	no	—
103	C₇×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×C₇×C₈	C₂³×C₃	1	2	yes	—
105	C₂×C₇×C₈	C₂³×C₃	1	2	yes	—
106	C₄²×C₇	C₃×D₄	1	2	yes	—
107	C₄²×C₇	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
108	C₄²×C₇	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
109	(C₂×D₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
110	(C₂×D₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₄⋊Dic₇	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Dic₇	C₂³×C₃	1	4	yes	—
113	D₅₆	—	2	8	no	—
114	C₂×C₃×#41	—	14	2	no	—
115	C₂×C₃×D₈	—	7	4	no	—
116	C₂×C₃×M₁₆	—	7	2	no	—
117	C₃×C₄⋊Q₈	—	7	2	no	—
118	C₃×#127	—	7	2	no	—
119	C₃×#124	—	14	2	no	—
120	C₃×#121	—	7	4	no	—
121	C₃×#121	—	14	2	no	—
122	C₃×C₄×D₄	—	7	4	no	—
123	C₃×C₄×D₄	—	14	2	no	—
124	C₂×C₃×C₄²	—	7	1	no	—
125	C₃×#106	—	7	4	no	—
126	C₃×#102	—	7	8	no	—
127	C₃×#97	—	7	2	no	—
128	C₃×C₄×C₈	—	7	1	no	—
129	C₃×C₄×C₈	—	7	1	no	—
130	C₂²×ΓL(1,𝔽₈)	—	2	1	no	—
131	C₂²×ΓL(1,𝔽₈)	—	2	2	no	—
132	C₂²×ΓL(1,𝔽₈)	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×AGL(1,𝔽₇)	—	4	4	no	—
134	C₂×AGL(1,𝔽₇)	—	4	4	no	—
135	C₂×AGL(1,𝔽₇)	—	4	4	no	—
136	C₄×ΓL(1,𝔽₈)	—	2	1	no	—
137	C₄×ΓL(1,𝔽₈)	—	2	2	no	—
138	C₄×ΓL(1,𝔽₈)	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
139	C₄×ΓL(1,𝔽₈)	C₂×#41	1	2	yes	—
140	ΓL(1,𝔽₈)⋊C₄	—	4	4	no	—
141	#532	—	7	2	no	—
142	#498	—	7	1	no	—
143	#493	—	7	1	no	—
144	#486	—	7	2	no	—
145	#469	—	7	4	no	—
146	#442	—	7	4	no	—
147	C₄×M₁₆	AGL(1,𝔽₇)	1	1	yes	characteristic, complemented
148	C₂³×C₇	C₂×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×D₇	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄×C₇	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄×C₇	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄×C₇	C₂×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₇	C₂×C₃×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄×C₇	C₂×C₃×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄×C₇	C₂⁴×C₃	1	1	yes	characteristic
156	C₂²⋊D₇	—	4	8	no	—
157	C₂×Dic₇	—	2	4	no	—
158	D₂₈	—	2	8	no	—
159	D₂₈	—	4	4	no	—
160	D₂₈	—	4	4	no	—
161	C₄×D₇	—	4	8	no	—
162	Dic₁₄	—	4	4	no	—
163	C₇×C₈	—	2	2	no	—
164	C₇×C₈	C₃×#41	1	4	yes	complemented
165	C₃×#41	—	28	8	no	—
166	C₂×C₃×Q₈	—	14	2	no	—
167	C₂×C₃×D₄	—	7	4	no	—
168	C₂×C₃×D₄	—	14	2	no	—
169	C₂×C₃×D₄	—	14	2	no	—
170	C₂×C₃×D₄	—	14	4	no	—
171	C₂²×C₃×C₄	—	7	2	no	—
172	C₂²×C₃×C₄	—	7	1	no	—
173	C₂²×C₃×C₄	—	14	4	no	—
174	C₃×D₈	—	14	8	no	—
175	C₃×M₁₆	—	14	4	no	—
176	C₂×C₃×C₈	—	7	2	no	—
177	C₂×C₃×C₈	—	7	2	no	—
178	C₃×C₄⋊C₄	—	7	4	no	—
179	C₃×C₄⋊C₄	—	14	2	no	—
180	C₃×C₂²⋊C₄	—	14	4	no	—
181	C₃×C₂²⋊C₄	—	14	4	no	—
182	C₃×C₄²	—	7	2	no	—
183	C₃×C₄²	—	7	1	no	—
184	C₃×C₄²	—	7	1	no	—
185	C₂×ΓL(1,𝔽₈)	—	4	1	no	—
186	C₂×ΓL(1,𝔽₈)	#532	1	1	yes	characteristic
187	C₂×ΓL(1,𝔽₈)	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
188	AGL(1,𝔽₇)	—	8	4	no	—
189	C₂×#41	—	14	2	no	—
190	C₂×D₈	—	7	4	no	—
191	C₂×M₁₆	C₂×AGL(1,𝔽₇)	1	2	yes	—
192	C₄⋊Q₈	—	7	2	no	—
193	#127	—	7	2	no	—
194	#124	—	14	2	no	—
195	#121	—	7	4	no	—
196	#121	—	14	2	no	—
197	C₄×D₄	—	7	4	no	—
198	C₄×D₄	—	14	2	no	—
199	C₂×C₄²	C₂×AGL(1,𝔽₇)	1	1	yes	characteristic
200	#106	—	7	4	no	—
201	#102	—	7	8	no	—
202	#97	C₂×AGL(1,𝔽₇)	1	2	yes	—
203	C₄×C₈	C₂×AGL(1,𝔽₇)	1	1	yes	characteristic
204	C₄×C₈	C₂×AGL(1,𝔽₇)	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₇	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₇	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₇	C₂²×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×D₇	—	4	4	no	—
209	C₂×D₇	—	4	4	no	—
210	C₂×D₇	—	4	4	no	—
211	C₄×C₇	—	2	2	no	—
212	C₄×C₇	—	2	1	no	—
213	C₄×C₇	C₃×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
214	C₄×C₇	C₂×C₃×#41	1	2	yes	—
215	Dic₇	—	4	4	no	—
216	C₂³×C₃	—	7	1	no	—
217	C₂³×C₃	—	14	4	no	—
218	C₃×Q₈	—	28	4	no	—
219	C₃×D₄	—	14	8	no	—
220	C₃×D₄	—	28	4	no	—
221	C₃×D₄	—	28	4	no	—
222	C₃×D₄	—	28	8	no	—
223	C₂×C₃×C₄	—	7	2	no	—
224	C₂×C₃×C₄	—	7	1	no	—
225	C₂×C₃×C₄	—	7	2	no	—
226	C₂×C₃×C₄	—	7	1	no	—
227	C₂×C₃×C₄	—	14	2	no	—
228	C₂×C₃×C₄	—	14	4	no	—
229	C₂×C₃×C₄	—	14	4	no	—
230	C₂×C₃×C₄	—	28	8	no	—
231	C₃×C₈	—	7	4	no	—
232	C₃×C₈	—	14	2	no	—
233	ΓL(1,𝔽₈)	#3184	1	1	yes	characteristic, complemented, Hall
234	#41	—	28	8	no	—
235	C₂×Q₈	—	14	2	no	—
236	C₂×D₄	—	7	4	no	—
237	C₂×D₄	—	14	4	no	—
238	C₂×D₄	—	14	2	no	—
239	C₂×D₄	—	14	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	14	4	no	—
241	C₂²×C₄	C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×AGL(1,𝔽₇)	1	1	yes	characteristic
243	D₈	—	14	8	no	—
244	M₁₆	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	C₂²×AGL(1,𝔽₇)	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂²×AGL(1,𝔽₇)	1	2	yes	—
247	C₄⋊C₄	—	7	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	14	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	14	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	14	4	no	—
251	C₄²	C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	1	2	yes	—
252	C₄²	C₂²×AGL(1,𝔽₇)	1	1	yes	characteristic
253	C₄²	C₂²×AGL(1,𝔽₇)	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₇	—	4	1	no	—
255	C₂×C₇	C₃×#532	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₇	C₂×C₃×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
257	D₇	—	8	4	no	—
258	C₂²×C₃	—	7	1	no	—
259	C₂²×C₃	—	14	2	no	—
260	C₂²×C₃	—	14	1	no	—
261	C₂²×C₃	—	28	4	no	—
262	C₂²×C₃	—	28	4	no	—
263	C₂²×C₃	—	28	4	no	—
264	C₃×C₄	—	7	2	no	—
265	C₃×C₄	—	7	4	no	—
266	C₃×C₄	—	14	2	no	—
267	C₃×C₄	—	14	1	no	—
268	C₃×C₄	—	28	4	no	—
269	C₂³	—	14	4	no	—
270	C₂³	C₂×C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	1	1	yes	characteristic
271	Q₈	—	28	4	no	—
272	D₄	—	14	8	no	—
273	D₄	—	28	8	no	—
274	D₄	—	28	4	no	—
275	D₄	—	28	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	14	4	no	—
279	C₂×C₄	—	28	8	no	—
280	C₂×C₄	C₂×C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂×C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂³×AGL(1,𝔽₇)	1	1	yes	characteristic
284	C₈	—	2	2	no	—
285	C₈	#1157⋊C₃	1	4	yes	complemented
286	C₇	C₃×#3184	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
287	C₂×C₃	—	7	1	no	—
288	C₂×C₃	—	7	2	no	—
289	C₂×C₃	—	28	1	no	—
290	C₂×C₃	—	56	4	no	—
291	C₂²	—	2	1	no	—
292	C₂²	—	2	2	no	—
293	C₂²	—	28	4	no	—
294	C₂²	—	28	4	no	—
295	C₂²	—	28	4	no	—
296	C₂²	C₂²×C₄⋊AGL(1,𝔽₇)	1	1	yes	characteristic
297	C₄	—	2	1	no	—
298	C₄	—	2	2	no	—
299	C₄	—	28	4	no	—
300	C₄	#6471⋊C₃	1	4	yes	—
301	C₄	C₂×#1157⋊C₃	1	2	yes	—
302	C₃	—	7	1	no	Sylow
303	C₂	—	4	1	no	—
304	C₂	—	56	4	no	—
305	C₂	#90168⋊C₃	1	1	yes	characteristic
306	C₂	C₂×#6471⋊C₃	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×C₄⋊AGL(1,𝔽₇)
commutator, cosocle	C₂×C₄×C₇	C₂⁴×C₃
Frattini	C₂×C₄	C₂³×AGL(1,𝔽₇)
Fitting	C₄×C₇×M₁₆	C₂×C₃
socle	C₂²×C₇	C₂²×C₃×D₄
hypercenter	C₄×M₁₆	AGL(1,𝔽₇)
hypocenter	C₇	C₃×#3184
LCS	G ▷ C₂×C₄×C₇ ▷ C₂×C₇ ▷ C₇
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×M₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #90168⋊C₃	C₂	semidirect
2. C₄×M₁₆×ΓL(1,𝔽₈)	C₂	semidirect
3. #89907⋊C₃	C₂	semidirect
4. #89483⋊C₃	C₂	semidirect
5. #89467⋊C₃	C₂	semidirect
6. #89466⋊C₃	C₂	semidirect
7. #89452⋊C₃	C₂	semidirect
8. #11735980	C₃	semidirect
25. #90168	C₂×C₃	semidirect
26. C₄×C₇×M₁₆	C₂×C₃	semidirect
27. #89907	C₂×C₃	semidirect
28. #89483	C₂×C₃	semidirect
29. #89467	C₂×C₃	semidirect
30. #89466	C₂×C₃	semidirect
31. #89452	C₂×C₃	semidirect
92. C₈×ΓL(1,𝔽₈)	#41	semidirect
147. C₄×M₁₆	AGL(1,𝔽₇)	semidirect
164. C₇×C₈	C₃×#41	semidirect
233. ΓL(1,𝔽₈)	#3184	semidirect
285. C₈	#1157⋊C₃	semidirect
286. C₇	C₃×#3184	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#90168⋊C₃	2
C₄×M₁₆×ΓL(1,𝔽₈)	2
#89907⋊C₃	2
#89483⋊C₃	2
#89467⋊C₃	2
#89466⋊C₃	2
#89452⋊C₃	2
#11735980	3
C₃×#3184	7