Subgroups — #73654

Order 384.

632 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 294 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#893	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#887	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#4988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#4973	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#4940	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×C₄⋊Dic₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#4670	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#4668	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2367	—	3	1	no	maximal, Sylow
13	C₂²×D₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×D₃	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×Dic₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₃×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#893	—	2	4	no	—
32	#887	—	2	4	no	—
33	#875	C₄	1	8	yes	complemented
34	C₃×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#124	—	3	1	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	—	3	1	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	3	1	no	—
42	#391	—	3	1	no	—
43	#390	—	3	1	no	—
44	#388	—	3	2	no	—
45	#388	—	3	2	no	—
46	#385	—	3	2	no	—
47	C₄×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
48	C₄×C₄⋊C₄	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
49	C₄×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
50	C₂³×D₃	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
62	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
63	C₂×D₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×D₃	—	4	2	no	—
67	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
68	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
69	C₂×Dic₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₃×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
72	C₃×C₄²	—	4	2	no	—
73	C₃×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
74	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
75	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
76	(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	2	no	—
77	(C₂×D₃)⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
78	(C₂×D₃)⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
79	C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
80	C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
81	Dic₃⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
83	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
84	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
85	C₂²×Q₈	—	3	1	no	—
86	C₂²×D₄	—	3	1	no	—
87	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
88	#124	—	3	8	no	—
89	C₄×Q₈	—	6	4	no	—
90	C₄×D₄	—	6	4	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
101	C₂×C₄²	—	3	1	no	—
102	C₂×C₄²	—	3	2	no	—
103	C₂×C₄²	—	3	1	no	—
104	C₂×C₄²	C₂×D₃	1	2	yes	—
105	C₂×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
106	#95	—	3	1	no	—
107	#95	—	3	2	no	—
108	#95	—	3	1	no	—
109	#95	—	3	2	no	—
110	#95	C₂×D₃	1	2	yes	—
111	C₂³×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
134	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
135	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
136	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
137	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
138	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
139	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
140	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
141	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
142	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
143	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
144	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
145	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
146	C₂×Dic₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂×Dic₃	#41	1	2	yes	—
148	C₂×Dic₃	#41	1	2	yes	—
149	D₁₂	—	2	8	no	—
150	C₄×D₃	—	4	8	no	—
151	Dic₆	—	2	8	no	—
152	C₂⁴	—	3	2	no	—
153	C₂×Q₈	—	3	4	no	—
154	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
155	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
156	C₂×D₄	—	3	4	no	—
157	C₂×D₄	—	6	2	no	—
158	C₂×D₄	—	6	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
160	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
162	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
163	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	12	2	no	—
167	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
174	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
175	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
176	C₄⋊C₄	D₁₂	1	4	yes	—
177	C₂²⋊C₄	—	3	8	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	3	8	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
182	C₄²	—	4	2	no	—
183	C₄²	—	6	2	no	—
184	C₄²	—	6	4	no	—
185	C₄²	—	6	2	no	—
186	C₄²	C₄×D₃	1	4	yes	complemented
187	C₂²×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₂×D₃	—	2	4	no	—
195	C₂×D₃	—	2	4	no	—
196	C₂×D₃	—	2	4	no	—
197	C₂×D₃	—	4	2	no	—
198	C₂×D₃	—	4	2	no	—
199	C₂×D₃	—	4	2	no	—
200	C₂×D₃	—	4	2	no	—
201	C₃×C₄	—	2	2	no	—
202	C₃×C₄	—	2	2	no	—
203	C₃×C₄	—	2	4	no	—
204	C₃×C₄	—	4	2	no	—
205	C₃×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
206	Dic₃	—	2	4	no	—
207	Dic₃	—	2	2	no	—
208	Dic₃	—	2	2	no	—
209	Dic₃	—	4	1	no	—
210	Dic₃	—	4	1	no	—
211	C₂³	—	3	4	no	—
212	C₂³	—	6	2	no	—
213	C₂³	—	6	2	no	—
214	C₂³	—	6	2	no	—
215	C₂³	—	6	2	no	—
216	C₂³	—	6	2	no	—
217	C₂³	—	6	2	no	—
218	C₂³	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
219	Q₈	—	6	8	no	—
220	D₄	—	6	8	no	—
221	C₂×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	3	4	no	—
231	C₂×C₄	—	3	2	no	—
232	C₂×C₄	—	3	2	no	—
233	C₂×C₄	—	6	1	no	—
234	C₂×C₄	—	6	2	no	—
235	C₂×C₄	—	6	1	no	—
236	C₂×C₄	—	6	2	no	—
237	C₂×C₄	—	6	1	no	—
238	C₂×C₄	—	6	1	no	—
239	C₂×C₄	—	6	1	no	—
240	C₂×C₄	—	6	1	no	—
241	C₂×C₄	—	6	1	no	—
242	C₂×C₄	—	6	1	no	—
243	C₂×C₄	—	6	1	no	—
244	C₂×C₄	—	6	1	no	—
245	C₂×C₄	—	12	8	no	—
246	C₂×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×D₁₂	1	4	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	#235	1	2	yes	—
252	C₂×C₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₃	#520	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₃	#546	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₃	#548	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₃	#556	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₃	#559	1	1	yes	characteristic
259	D₃	—	4	4	no	—
260	C₂²	—	6	4	no	—
261	C₂²	—	6	4	no	—
262	C₂²	—	6	4	no	—
263	C₂²	—	12	2	no	—
264	C₂²	—	12	2	no	—
265	C₂²	—	12	2	no	—
266	C₂²	—	12	2	no	—
267	C₂²	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂²	C₂²×D₁₂	1	1	yes	characteristic
269	C₂²	C₂×#235	1	1	yes	characteristic
270	C₂²	#1004	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	#1007	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	D₃×#41	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	D₃×#41	1	1	yes	characteristic
274	C₄	—	2	2	no	—
275	C₄	—	2	2	no	—
276	C₄	—	2	4	no	—
277	C₄	—	4	2	no	—
278	C₄	—	6	4	no	—
279	C₄	—	6	2	no	—
280	C₄	—	6	2	no	—
281	C₄	—	12	1	no	—
282	C₄	—	12	1	no	—
283	C₄	C₄×D₁₂	1	4	yes	—
284	C₃	#2367	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
285	C₂	—	12	4	no	—
286	C₂	C₂×C₄×D₁₂	1	1	yes	characteristic
287	C₂	#5504	1	1	yes	characteristic
288	C₂	#5522	1	1	yes	characteristic
289	C₂	#5554	1	1	yes	characteristic
290	C₂	#5559	1	1	yes	characteristic
291	C₂	#5568	1	1	yes	characteristic
292	C₂	#5576	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₃
commutator	C₂²×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₃	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₁₂	C₂²
hypercenter	C₄×C₄⋊C₄	D₃
hypocenter	C₃	#2367
LCS	G ▷ C₂²×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#887	C₂	semidirect
4. C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
6. #4973	C₂	semidirect
7. #4940	C₂	semidirect
8. C₄×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂	semidirect
9. C₄×C₄⋊Dic₃	C₂	semidirect
10. #4670	C₂	semidirect
11. #4668	C₂	semidirect
33. #875	C₄	semidirect
48. C₄×C₄⋊C₄	D₃	semidirect
69. C₂×Dic₆	C₂×C₄	semidirect
73. C₃×C₄²	C₂×C₄	semidirect
77. (C₂×D₃)⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
78. (C₂×D₃)⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
186. C₄²	C₄×D₃	semidirect
284. C₃	#2367	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#893	2
C₂×#887	2
C₂×#875	2
C₃×C₄×C₄⋊C₄	2
#4988	2
#4973	2
#4940	2
C₄×(C₂×D₃)⋊C₄	2
C₄×C₄⋊Dic₃	2
#4670	2
#4668	2
#2367	3