Subgroups — #73692

Order 384.

496 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 280 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#898	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#4994	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#4939	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#4939	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#4939	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#4935	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×C₄⋊Dic₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#4928	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#4674	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#4670	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2512	—	3	1	no	maximal, Sylow
13	C₂²×D₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
32	#898	—	2	8	no	—
33	C₃×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₃×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#126	—	3	2	no	—
38	#397	—	3	2	no	—
39	#396	—	3	2	no	—
40	#390	—	3	1	no	—
41	#390	—	3	1	no	—
42	#390	—	3	1	no	—
43	#389	—	3	1	no	—
44	#388	—	3	2	no	—
45	#384	—	3	1	no	—
46	C₄×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
47	C₄×C₄⋊C₄	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
48	C₂³×D₃	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
60	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
61	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
62	C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₃×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	complemented
64	C₃×C₄²	—	2	2	no	—
65	C₃×C₄²	—	2	2	no	—
66	C₃×C₄²	—	2	2	no	—
67	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
68	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
69	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
70	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
71	(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	2	no	—
72	(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	2	no	—
73	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
74	C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
75	C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
76	C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
77	C₄⋊Dic₃	—	4	2	no	—
78	Dic₃⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
80	C₂²×D₄	—	3	1	no	—
81	#126	—	6	8	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
96	C₂×C₄²	—	3	2	no	—
97	C₂×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
100	#95	—	3	2	no	—
101	#95	—	3	2	no	—
102	#95	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
103	#95	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
130	C₂×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
131	C₂×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
132	C₂×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
133	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
134	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
135	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
136	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
137	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
138	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
139	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
140	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
141	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
142	D₁₂	—	4	4	no	—
143	C₂⁴	—	3	2	no	—
144	C₂×D₄	—	6	2	no	—
145	C₂×D₄	—	6	2	no	—
146	C₂×D₄	—	6	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
150	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
157	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
159	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
160	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
161	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
162	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
163	C₄⋊C₄	—	12	2	no	—
164	C₄⋊C₄	D₁₂	1	4	yes	complemented
165	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
171	C₄²	—	2	2	no	—
172	C₄²	—	2	2	no	—
173	C₄²	—	2	2	no	—
174	C₄²	—	6	4	no	—
175	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₂×D₃	—	4	2	no	—
183	C₂×D₃	—	4	2	no	—
184	C₂×D₃	—	4	2	no	—
185	C₂×D₃	—	4	2	no	—
186	C₂×D₃	—	4	2	no	—
187	C₂×D₃	—	4	2	no	—
188	C₂×D₃	—	4	2	no	—
189	C₃×C₄	—	2	2	no	—
190	C₃×C₄	—	2	2	no	—
191	C₃×C₄	—	2	2	no	—
192	C₃×C₄	—	2	2	no	—
193	C₃×C₄	—	4	1	no	—
194	C₃×C₄	—	4	1	no	—
195	C₃×C₄	#126	1	4	yes	complemented
196	Dic₃	—	4	2	no	—
197	Dic₃	—	4	2	no	—
198	Dic₃	—	4	2	no	—
199	C₂³	—	6	2	no	—
200	C₂³	—	6	2	no	—
201	C₂³	—	6	2	no	—
202	C₂³	—	6	2	no	—
203	C₂³	—	6	2	no	—
204	C₂³	—	6	2	no	—
205	C₂³	—	6	2	no	—
206	C₂³	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
207	D₄	—	12	4	no	—
208	C₂×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄	—	6	2	no	—
223	C₂×C₄	—	6	2	no	—
224	C₂×C₄	—	6	2	no	—
225	C₂×C₄	—	6	2	no	—
226	C₂×C₄	—	6	2	no	—
227	C₂×C₄	—	6	2	no	—
228	C₂×C₄	—	6	2	no	—
229	C₂×C₄	—	6	2	no	—
230	C₂×C₄	—	6	2	no	—
231	C₂×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
234	C₂×C₄	#235	1	2	yes	—
235	C₂×C₄	#235	1	2	yes	—
236	C₂×C₄	#237	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	#239	1	2	yes	—
238	C₂×C₃	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₃	#532	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₃	#542	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₃	#547	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₃	#550	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₃	#553	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₃	#556	1	1	yes	characteristic
245	D₃	—	8	2	no	—
246	C₂²	—	12	2	no	—
247	C₂²	—	12	2	no	—
248	C₂²	—	12	2	no	—
249	C₂²	—	12	2	no	—
250	C₂²	—	12	2	no	—
251	C₂²	—	12	2	no	—
252	C₂²	—	12	2	no	—
253	C₂²	C₂²×D₁₂	1	1	yes	characteristic
254	C₂²	C₂×#235	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	C₂×#235	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	C₂×#237	1	1	yes	characteristic
257	C₂²	C₂×#239	1	1	yes	characteristic
258	C₂²	#1009	1	1	yes	characteristic
259	C₂²	#1010	1	1	yes	characteristic
260	C₄	—	2	2	no	—
261	C₄	—	2	2	no	—
262	C₄	—	2	2	no	—
263	C₄	—	2	2	no	—
264	C₄	—	4	1	no	—
265	C₄	—	4	1	no	—
266	C₄	—	12	2	no	—
267	C₄	—	12	2	no	—
268	C₄	—	12	2	no	—
269	C₄	#898	1	4	yes	complemented
270	C₃	#2512	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
271	C₂	—	24	2	no	—
272	C₂	#5477	1	1	yes	characteristic
273	C₂	C₂×#898	1	1	yes	characteristic
274	C₂	#5534	1	1	yes	characteristic
275	C₂	#5555	1	1	yes	characteristic
276	C₂	#5565	1	1	yes	characteristic
277	C₂	#5577	1	1	yes	characteristic
278	C₂	#5584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₃
commutator, socle, cosocle	C₂³×C₃	C₂⁴
Fitting	C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂
prime radical	C₂²×D₁₂	C₂²
hypercenter	C₄×C₄⋊C₄	D₃
hypocenter	C₃	#2512
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#898	C₂	semidirect
2. C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
3. #4994	C₂	semidirect
7. #4935	C₂	semidirect
8. C₄×C₄⋊Dic₃	C₂	semidirect
9. #4928	C₂	semidirect
10. #4674	C₂	semidirect
11. #4670	C₂	semidirect
47. C₄×C₄⋊C₄	D₃	semidirect
63. C₃×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
164. C₄⋊C₄	D₁₂	semidirect
195. C₃×C₄	#126	semidirect
269. C₄	#898	semidirect
270. C₃	#2512	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#898	2
C₃×C₄×C₄⋊C₄	2
#4994	2
#4939	2
#4935	2
C₄×C₄⋊Dic₃	2
#4928	2
#4674	2
#4670	2
#2512	3