Subgroups — #76206

Order 384.

788 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#895	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×D₃×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×C₄×D₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₃×#389	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#4989	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#4988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	Dic₃×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#4669	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#4665	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2361	—	3	1	no	maximal, Sylow
13	C₂²×D₁₂	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×D₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×D₃	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×D₃	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×D₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#895	C₄	1	8	yes	complemented
33	#893	—	2	8	no	—
34	D₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
35	C₄×D₁₂	—	2	4	no	—
36	C₃×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
38	C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#121	—	3	1	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	3	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	3	1	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
44	#390	—	3	1	no	—
45	#389	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#388	—	3	2	no	—
47	#386	—	3	2	no	—
48	#385	—	3	2	no	—
49	C₄×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
50	C₄×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
51	C₂³×D₃	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×D₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×D₁₂	—	2	4	no	—
63	C₂×D₁₂	—	2	4	no	—
64	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
65	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
66	C₂×D₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	C₂×D₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
68	C₂×C₄×D₃	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×D₃	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×D₃	—	4	2	no	—
75	C₂×C₄×D₃	—	4	2	no	—
76	C₂×C₄×D₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
77	C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
80	C₃×C₄²	—	2	2	no	—
81	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	2	no	—
82	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
83	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
84	(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	2	no	—
85	(C₂×D₃)⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
86	(C₂×D₃)⋊C₄	D₄	1	4	yes	complemented
87	C₄⋊Dic₃	D₄	1	4	yes	complemented
88	Dic₃⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
90	C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	3	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	3	1	no	—
93	C₂³×C₄	—	3	1	no	—
94	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
95	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
96	#121	—	3	8	no	—
97	C₄×D₄	—	6	4	no	—
98	C₄×D₄	—	6	8	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
111	C₂×C₄²	—	3	2	no	—
112	C₂×C₄²	—	3	1	no	—
113	C₂×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
114	#95	—	3	1	no	—
115	#95	—	3	1	no	—
116	#95	—	3	2	no	—
117	#95	C₂×D₃	1	2	yes	—
118	C₂³×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
120	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
121	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
122	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
123	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂²×D₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×D₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×D₃	#41	1	2	yes	—
133	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
139	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
148	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
149	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
150	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
151	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
152	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
153	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
154	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
155	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
156	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
157	C₂×Dic₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×Dic₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×Dic₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	D₁₂	—	2	16	no	—
161	D₁₂	—	2	8	no	—
162	C₄×D₃	—	2	8	no	—
163	C₄×D₃	—	4	8	no	—
164	C₄×D₃	—	4	8	no	—
165	C₂⁴	—	3	1	no	—
166	C₂⁴	—	3	2	no	—
167	C₂×D₄	—	3	8	no	—
168	C₂×D₄	—	3	4	no	—
169	C₂×D₄	—	6	4	no	—
170	C₂×D₄	—	6	4	no	—
171	C₂×D₄	—	6	2	no	—
172	C₂×D₄	—	6	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	12	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	12	2	no	—
186	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
191	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
195	C₄⋊C₄	C₄×D₃	1	4	yes	complemented
196	C₂²⋊C₄	—	3	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	3	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
202	C₄²	—	2	2	no	—
203	C₄²	—	6	4	no	—
204	C₄²	—	6	2	no	—
205	C₂²×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂×D₃	—	2	2	no	—
213	C₂×D₃	—	2	2	no	—
214	C₂×D₃	—	2	2	no	—
215	C₂×D₃	—	2	2	no	—
216	C₂×D₃	—	2	2	no	—
217	C₂×D₃	—	2	2	no	—
218	C₂×D₃	—	2	4	no	—
219	C₂×D₃	—	2	4	no	—
220	C₂×D₃	—	2	4	no	—
221	C₂×D₃	—	4	2	no	—
222	C₂×D₃	—	4	2	no	—
223	C₂×D₃	—	4	2	no	—
224	C₂×D₃	—	4	2	no	—
225	C₂×D₃	C₄×D₄	1	4	yes	complemented
226	C₃×C₄	—	2	4	no	—
227	C₃×C₄	—	2	2	no	—
228	C₃×C₄	—	4	2	no	—
229	C₃×C₄	—	4	1	no	—
230	C₃×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	complemented
231	Dic₃	—	2	2	no	—
232	Dic₃	—	2	4	no	—
233	Dic₃	—	2	2	no	—
234	Dic₃	—	4	1	no	—
235	C₂³	—	3	2	no	—
236	C₂³	—	3	2	no	—
237	C₂³	—	3	2	no	—
238	C₂³	—	3	4	no	—
239	C₂³	—	6	1	no	—
240	C₂³	—	6	1	no	—
241	C₂³	—	6	1	no	—
242	C₂³	—	6	1	no	—
243	C₂³	—	6	2	no	—
244	C₂³	—	6	2	no	—
245	C₂³	—	6	2	no	—
246	C₂³	—	6	2	no	—
247	C₂³	—	6	2	no	—
248	C₂³	—	6	2	no	—
249	C₂³	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
250	D₄	—	6	16	no	—
251	D₄	—	6	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	3	2	no	—
263	C₂×C₄	—	3	2	no	—
264	C₂×C₄	—	3	4	no	—
265	C₂×C₄	—	6	2	no	—
266	C₂×C₄	—	6	1	no	—
267	C₂×C₄	—	6	1	no	—
268	C₂×C₄	—	6	1	no	—
269	C₂×C₄	—	6	1	no	—
270	C₂×C₄	—	6	2	no	—
271	C₂×C₄	—	6	8	no	—
272	C₂×C₄	—	6	1	no	—
273	C₂×C₄	—	6	1	no	—
274	C₂×C₄	—	6	1	no	—
275	C₂×C₄	—	12	8	no	—
276	C₂×C₄	—	12	8	no	—
277	C₂×C₄	C₂×C₄×D₃	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#239	1	2	yes	—
282	C₂×C₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₃	#520	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₃	#547	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₃	#548	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₃	#553	1	1	yes	characteristic
289	D₃	—	2	4	no	—
290	D₃	—	4	4	no	—
291	C₂²	—	3	4	no	—
292	C₂²	—	6	2	no	—
293	C₂²	—	6	2	no	—
294	C₂²	—	6	2	no	—
295	C₂²	—	6	2	no	—
296	C₂²	—	6	2	no	—
297	C₂²	—	6	2	no	—
298	C₂²	—	6	4	no	—
299	C₂²	—	6	4	no	—
300	C₂²	—	6	4	no	—
301	C₂²	—	12	2	no	—
302	C₂²	—	12	2	no	—
303	C₂²	—	12	2	no	—
304	C₂²	—	12	2	no	—
305	C₂²	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂×#239	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#1007	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	D₃×#41	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#1009	1	1	yes	characteristic
312	C₄	—	2	4	no	—
313	C₄	—	2	2	no	—
314	C₄	—	4	1	no	—
315	C₄	—	4	2	no	—
316	C₄	—	6	2	no	—
317	C₄	—	6	2	no	—
318	C₄	—	6	4	no	—
319	C₄	—	12	1	no	—
320	C₄	#893	1	4	yes	complemented
321	C₃	#2361	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
322	C₂	—	6	4	no	—
323	C₂	—	12	4	no	—
324	C₂	C₂×#893	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₄×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#5574	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#5609	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#5633	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#5695	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#5726	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₃
commutator	C₂²×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₃×#389	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₃	C₂⁴
prime radical	C₂×#895	C₂
hypercenter	#389	D₃
hypocenter	C₃	#2361
LCS	G ▷ C₂²×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #389

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#893	C₂	semidirect
3. C₂×D₃×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×D₁₂	C₂	semidirect
5. C₃×#389	C₂	semidirect
6. #4989	C₂	semidirect
7. #4988	C₂	semidirect
8. Dic₃×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
9. C₄×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂	semidirect
10. #4669	C₂	semidirect
11. #4665	C₂	semidirect
32. #895	C₄	semidirect
45. #389	D₃	semidirect
66. C₂×D₁₂	C₂×C₄	semidirect
67. C₂×D₁₂	C₂×C₄	semidirect
76. C₂×C₄×D₃	C₂×C₄	semidirect
79. C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
85. (C₂×D₃)⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
86. (C₂×D₃)⋊C₄	D₄	semidirect
87. C₄⋊Dic₃	D₄	semidirect
195. C₄⋊C₄	C₄×D₃	semidirect
225. C₂×D₃	C₄×D₄	semidirect
230. C₃×C₄	C₄×D₄	semidirect
320. C₄	#893	semidirect
321. C₃	#2361	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#895	2
C₂×#893	2
C₂×D₃×C₄⋊C₄	2
C₂×C₄×D₁₂	2
C₃×#389	2
#4989	2
#4988	2
Dic₃×C₄⋊C₄	2
C₄×(C₂×D₃)⋊C₄	2
#4669	2
#4665	2
#2361	3