Subgroups — #76613

Order 384.

928 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#239	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#893	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄×D₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₃×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#5229	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#4987	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#4665	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#4665	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#4664	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	D₃×#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2339	—	3	1	no	maximal, Sylow
13	C₂²×C₃×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#239	—	2	4	no	—
15	C₂×#239	—	2	4	no	—
16	C₂×#239	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂²×D₁₂	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×D₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×D₃	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×D₃	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×D₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×D₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#893	—	2	4	no	—
33	C₄×D₁₂	—	2	4	no	—
34	C₃×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₃×#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
38	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×#41	—	3	1	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	3	1	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	3	1	no	—
44	#391	—	3	1	no	—
45	#391	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#386	—	3	2	no	—
47	#386	—	3	2	no	—
48	#381	—	3	2	no	—
49	#380	—	3	1	no	—
50	C₄×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
51	C₂×#95	—	3	2	no	—
52	C₂³×D₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×D₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
57	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#239	—	2	32	no	—
67	C₂×D₁₂	—	2	4	no	—
68	C₂×D₁₂	—	2	4	no	—
69	C₂×D₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×D₁₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
71	C₂×D₁₂	D₄	1	4	yes	—
72	C₂×D₁₂	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×D₃	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×D₃	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×D₃	—	4	2	no	—
82	C₂×C₄×D₃	—	4	2	no	—
83	C₂×C₄×D₃	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
84	C₂×C₄×D₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
85	C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₃×C₄²	—	2	2	no	—
87	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
88	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
89	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	2	no	—
90	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	2	no	—
91	(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	2	no	—
92	C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
93	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	3	8	no	—
95	C₂×#41	—	6	4	no	—
96	C₂×#41	—	6	4	no	—
97	C₂²×Q₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	—	3	1	no	—
99	C₂²×D₄	—	3	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	3	1	no	—
102	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
104	C₄×D₄	—	6	4	no	—
105	C₄×D₄	—	6	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
113	C₂×C₄²	—	3	1	no	—
114	C₂×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
115	#95	—	3	1	no	—
116	#95	—	3	2	no	—
117	#95	—	3	2	no	—
118	#95	—	3	1	no	—
119	#95	—	3	2	no	—
120	#95	C₂×D₃	1	2	yes	—
121	#95	C₂×D₃	1	2	yes	—
122	C₂³×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
128	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
129	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
130	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
131	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
132	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
133	C₂²×D₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×D₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂²×D₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×D₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₃×Q₈	—	2	8	no	—
138	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
139	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
145	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
148	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₃×C₄	#41	1	2	yes	complemented
153	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
154	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
155	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
156	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
157	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
158	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
159	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
160	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
161	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
162	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
163	C₂×Dic₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂×Dic₃	#41	1	2	yes	complemented
165	D₁₂	—	2	16	no	—
166	D₁₂	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
167	C₄×D₃	—	2	16	no	—
168	C₄×D₃	—	2	8	no	—
169	C₄×D₃	—	4	8	no	—
170	C₄×D₃	—	4	8	no	—
171	C₂⁴	—	3	2	no	—
172	C₂⁴	—	3	1	no	—
173	#41	—	6	32	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
176	C₂×Q₈	C₄×D₃	1	4	yes	complemented
177	C₂×D₄	—	3	4	no	—
178	C₂×D₄	—	3	8	no	—
179	C₂×D₄	—	3	4	no	—
180	C₂×D₄	—	3	4	no	—
181	C₂×D₄	—	6	4	no	—
182	C₂×D₄	—	6	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
185	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	12	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	12	2	no	—
199	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
204	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
211	C₄²	—	2	2	no	—
212	C₄²	—	6	2	no	—
213	C₂²×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂×D₃	—	2	4	no	—
221	C₂×D₃	—	2	4	no	—
222	C₂×D₃	—	2	4	no	—
223	C₂×D₃	—	2	4	no	—
224	C₂×D₃	—	2	4	no	—
225	C₂×D₃	—	2	4	no	—
226	C₂×D₃	—	2	2	no	—
227	C₂×D₃	—	2	2	no	—
228	C₂×D₃	—	2	2	no	—
229	C₂×D₃	—	4	1	no	—
230	C₂×D₃	—	4	1	no	—
231	C₂×D₃	—	4	1	no	—
232	C₂×D₃	—	4	1	no	—
233	C₂×D₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
234	C₃×C₄	—	2	4	no	—
235	C₃×C₄	—	2	2	no	—
236	C₃×C₄	—	4	2	no	—
237	C₃×C₄	—	4	1	no	—
238	C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
239	Dic₃	—	2	2	no	—
240	Dic₃	—	2	2	no	—
241	Dic₃	—	4	2	no	—
242	Dic₃	—	4	1	no	—
243	C₂³	—	3	4	no	—
244	C₂³	—	3	4	no	—
245	C₂³	—	3	4	no	—
246	C₂³	—	3	2	no	—
247	C₂³	—	6	2	no	—
248	C₂³	—	6	2	no	—
249	C₂³	—	6	2	no	—
250	C₂³	—	6	2	no	—
251	C₂³	—	6	1	no	—
252	C₂³	—	6	1	no	—
253	C₂³	—	6	1	no	—
254	C₂³	—	6	1	no	—
255	C₂³	—	6	1	no	—
256	C₂³	—	6	1	no	—
257	C₂³	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
258	Q₈	—	2	8	no	—
259	D₄	—	3	16	no	—
260	D₄	—	6	16	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	3	2	no	—
272	C₂×C₄	—	3	2	no	—
273	C₂×C₄	—	6	16	no	—
274	C₂×C₄	—	6	1	no	—
275	C₂×C₄	—	6	1	no	—
276	C₂×C₄	—	6	1	no	—
277	C₂×C₄	—	6	1	no	—
278	C₂×C₄	—	6	8	no	—
279	C₂×C₄	—	6	1	no	—
280	C₂×C₄	—	6	2	no	—
281	C₂×C₄	—	6	1	no	—
282	C₂×C₄	—	6	2	no	—
283	C₂×C₄	—	6	1	no	—
284	C₂×C₄	—	6	2	no	—
285	C₂×C₄	—	12	8	no	—
286	C₂×C₄	—	12	8	no	—
287	C₂×C₄	C₂×C₄×D₃	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#239	1	2	yes	complemented
292	C₂×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₃	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₃	#520	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₃	#546	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₃	#546	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₃	#547	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₃	#547	1	1	yes	characteristic
299	D₃	—	2	8	no	—
300	D₃	—	4	2	no	—
301	C₂²	—	3	8	no	—
302	C₂²	—	6	4	no	—
303	C₂²	—	6	4	no	—
304	C₂²	—	6	4	no	—
305	C₂²	—	6	4	no	—
306	C₂²	—	6	4	no	—
307	C₂²	—	6	4	no	—
308	C₂²	—	6	2	no	—
309	C₂²	—	6	2	no	—
310	C₂²	—	6	2	no	—
311	C₂²	—	12	1	no	—
312	C₂²	—	12	1	no	—
313	C₂²	—	12	1	no	—
314	C₂²	—	12	1	no	—
315	C₂²	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#239	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#1007	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	D₃×#41	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#1009	1	1	yes	characteristic
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	4	2	no	—
325	C₄	—	4	1	no	—
326	C₄	—	6	2	no	—
327	C₄	—	6	2	no	—
328	C₄	—	12	1	no	—
329	C₄	—	12	2	no	—
330	C₄	D₃×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
331	C₃	#2339	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
332	C₂	—	6	8	no	—
333	C₂	—	12	2	no	—
334	C₂	C₂×D₃×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂	C₄×#239	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#5574	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#5630	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#5631	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#5676	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#5726	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₃
commutator	C₂²×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₃×#391	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₃	C₂⁴
prime radical	C₂²×#239	C₂
hypercenter	#391	D₃
hypocenter	C₃	#2339
LCS	G ▷ C₂²×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #391

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#893	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×D₁₂	C₂	semidirect
4. C₃×#391	C₂	semidirect
5. #5229	C₂	semidirect
6. #4987	C₂	semidirect
7. C₄×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂	semidirect
8. #4665	C₂	semidirect
9. #4665	C₂	semidirect
10. #4664	C₂	semidirect
11. D₃×#95	C₂	semidirect
16. C₂×#239	C₄	semidirect
45. #391	D₃	semidirect
56. C₂×C₃×Q₈	C₂×C₄	semidirect
70. C₂×D₁₂	C₂×C₄	semidirect
83. C₂×C₄×D₃	C₂×C₄	semidirect
84. C₂×C₄×D₃	C₂×C₄	semidirect
152. C₂×C₃×C₄	#41	semidirect
164. C₂×Dic₃	#41	semidirect
166. D₁₂	C₂²⋊C₄	semidirect
176. C₂×Q₈	C₄×D₃	semidirect
291. C₂×C₄	#239	semidirect
331. C₃	#2339	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#239	2
C₂×#893	2
C₂×C₄×D₁₂	2
C₃×#391	2
#5229	2
#4987	2
C₄×(C₂×D₃)⋊C₄	2
#4665	2
#4664	2
D₃×#95	2
#2339	3