Subgroups — #76614

Order 384.

820 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 308 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×D₃×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#887	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄×Dic₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₃×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#5229	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#4987	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₄×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#4667	C₂	1	2	yes	maximal
9	#4666	C₂	1	2	yes	maximal
10	#4646	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#4646	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	Q₈×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	maximal, Sylow
13	C₂²×C₃×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×D₃×Q₈	—	2	4	no	—
15	C₂×D₃×Q₈	—	2	4	no	—
16	C₂×D₃×Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂²×C₄×D₃	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×D₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×Dic₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×Dic₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#887	—	2	4	no	—
33	C₄×Dic₆	—	2	4	no	—
34	C₃×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₃×#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
40	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂³×Q₈	—	3	1	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	—	3	1	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	—	3	1	no	—
44	#391	—	3	1	no	—
45	#391	—	3	2	no	—
46	#391	—	3	2	no	—
47	#391	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
48	#380	—	3	1	no	—
49	#380	—	3	2	no	—
50	C₄×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
51	C₄×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
52	C₂³×D₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
66	D₃×Q₈	—	2	32	no	—
67	C₂×C₄×D₃	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×D₃	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×D₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×D₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×Dic₆	—	2	4	no	—
74	C₂×Dic₆	—	2	4	no	—
75	C₂×Dic₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	C₂×Dic₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₂×Dic₆	D₄	1	4	yes	—
78	C₂×Dic₆	D₄	1	4	yes	—
79	C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₃×C₄²	—	2	2	no	—
81	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
82	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	2	no	—
83	(C₂×D₃)⋊C₄	Q₈	1	4	yes	complemented
84	C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
85	Dic₃⋊C₄	—	2	4	no	—
86	Dic₃⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
88	C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
89	C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
90	C₂²×Q₈	—	3	8	no	—
91	C₂²×Q₈	—	3	1	no	—
92	C₂²×Q₈	—	3	2	no	—
93	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
94	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
95	C₂²×Q₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	3	1	no	—
98	C₄×Q₈	—	6	4	no	—
99	C₄×Q₈	—	6	4	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
107	C₂×C₄²	—	3	2	no	—
108	C₂×C₄²	—	3	2	no	—
109	C₂×C₄²	—	3	1	no	—
110	C₂×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
111	#95	—	3	1	no	—
112	#95	—	3	1	no	—
113	#95	—	3	2	no	—
114	#95	—	3	2	no	—
115	#95	—	3	2	no	—
116	#95	C₂×D₃	1	2	yes	—
117	#95	C₂×D₃	1	2	yes	—
118	C₂³×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
120	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
121	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
122	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
123	C₂²×D₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×D₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
125	C₂²×D₃	#41	1	2	yes	—
126	C₃×Q₈	—	2	8	no	—
127	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
133	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
142	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
143	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
144	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
145	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
146	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
147	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
148	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
149	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
150	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
151	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
152	C₂×Dic₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×Dic₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×Dic₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂×Dic₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂×Dic₃	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
157	C₄×D₃	—	2	8	no	—
158	C₄×D₃	—	2	16	no	—
159	Dic₆	—	2	16	no	—
160	Dic₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
161	C₂⁴	—	3	1	no	—
162	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
163	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
164	C₂×Q₈	—	3	4	no	—
165	C₂×Q₈	—	3	8	no	—
166	C₂×Q₈	—	3	4	no	—
167	C₂×Q₈	—	3	4	no	—
168	C₂×Q₈	—	6	4	no	—
169	C₂×Q₈	—	6	4	no	—
170	C₂×Q₈	—	6	32	no	—
171	C₂×Q₈	C₄×D₃	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
183	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
190	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	3	4	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
195	C₄²	—	2	2	no	—
196	C₄²	—	6	4	no	—
197	C₄²	—	6	4	no	—
198	C₄²	—	6	2	no	—
199	C₂²×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₂×D₃	—	2	2	no	—
207	C₂×D₃	—	2	2	no	—
208	C₂×D₃	—	2	2	no	—
209	C₂×D₃	—	2	2	no	—
210	C₂×D₃	—	2	2	no	—
211	C₂×D₃	—	2	2	no	—
212	C₂×D₃	C₄×Q₈	1	4	yes	complemented
213	C₃×C₄	—	2	4	no	—
214	C₃×C₄	—	2	2	no	—
215	C₃×C₄	—	4	1	no	—
216	C₃×C₄	—	4	2	no	—
217	C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
218	Dic₃	—	2	2	no	—
219	Dic₃	—	2	2	no	—
220	Dic₃	—	4	2	no	—
221	Dic₃	—	4	1	no	—
222	Dic₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
223	C₂³	—	3	2	no	—
224	C₂³	—	3	2	no	—
225	C₂³	—	3	2	no	—
226	C₂³	—	6	1	no	—
227	C₂³	—	6	1	no	—
228	C₂³	—	6	1	no	—
229	C₂³	—	6	1	no	—
230	C₂³	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
231	Q₈	—	2	8	no	—
232	Q₈	—	3	16	no	—
233	Q₈	—	6	16	no	—
234	C₂×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	3	4	no	—
245	C₂×C₄	—	3	4	no	—
246	C₂×C₄	—	3	4	no	—
247	C₂×C₄	—	3	2	no	—
248	C₂×C₄	—	3	2	no	—
249	C₂×C₄	—	6	16	no	—
250	C₂×C₄	—	6	1	no	—
251	C₂×C₄	—	6	1	no	—
252	C₂×C₄	—	6	1	no	—
253	C₂×C₄	—	6	1	no	—
254	C₂×C₄	—	6	8	no	—
255	C₂×C₄	—	6	2	no	—
256	C₂×C₄	—	6	1	no	—
257	C₂×C₄	—	6	2	no	—
258	C₂×C₄	—	6	2	no	—
259	C₂×C₄	—	6	1	no	—
260	C₂×C₄	—	6	1	no	—
261	C₂×C₄	C₂×C₄×D₃	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	D₃×Q₈	1	2	yes	complemented
266	C₂×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₃	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₃	#519	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₃	#548	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₃	#548	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₃	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₃	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
273	D₃	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	3	4	no	—
275	C₂²	—	6	2	no	—
276	C₂²	—	6	2	no	—
277	C₂²	—	6	2	no	—
278	C₂²	—	6	2	no	—
279	C₂²	—	6	2	no	—
280	C₂²	—	6	2	no	—
281	C₂²	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂×D₃×Q₈	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#1007	1	1	yes	characteristic
286	C₂²	D₃×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	#1010	1	1	yes	characteristic
288	C₄	—	2	2	no	—
289	C₄	—	2	4	no	—
290	C₄	—	3	8	no	—
291	C₄	—	4	1	no	—
292	C₄	—	4	2	no	—
293	C₄	—	6	2	no	—
294	C₄	—	6	2	no	—
295	C₄	—	12	2	no	—
296	C₄	—	12	1	no	—
297	C₄	D₃×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
298	C₃	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
299	C₂	—	6	4	no	—
300	C₂	C₂×D₃×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂	C₄×D₃×Q₈	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#5572	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#5632	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#5633	1	1	yes	characteristic
305	C₂	#5677	1	1	yes	characteristic
306	C₂	#5727	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₃
commutator	C₂²×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₃×#391	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₃	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₃	C₂³
hypercenter	#391	D₃
hypocenter	C₃	Q₈×C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #391

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#887	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×Dic₆	C₂	semidirect
4. C₃×#391	C₂	semidirect
5. #5229	C₂	semidirect
10. #4646	C₂	semidirect
11. #4646	C₂	semidirect
16. C₂×D₃×Q₈	C₄	semidirect
47. #391	D₃	semidirect
83. (C₂×D₃)⋊C₄	Q₈	semidirect
141. C₂×C₃×C₄	C₂×Q₈	semidirect
156. C₂×Dic₃	C₂×Q₈	semidirect
160. Dic₆	C₂²⋊C₄	semidirect
212. C₂×D₃	C₄×Q₈	semidirect
265. C₂×C₄	D₃×Q₈	semidirect
298. C₃	Q₈×C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×D₃×Q₈	2
C₂×#887	2
C₂×C₄×Dic₆	2
C₃×#391	2
#5229	2
#4987	2
C₄×(C₂×D₃)⋊C₄	2
#4667	2
#4666	2
#4646	2
Q₈×C₂²⋊C₄	3