Subgroups — #78672

Order 384.

764 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1009	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#5833	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#908	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#904	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₃×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#5133	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#821	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#4734	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#4733	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#4732	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#4731	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3012	—	3	1	no	maximal, Sylow
13	C₂×C₃×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#1009	—	2	4	no	—
15	#1009	—	2	4	no	—
16	C₂×#239	—	2	1	no	—
17	C₂×D₃×D₄	—	2	1	no	—
18	C₂×D₃×D₄	—	2	2	no	—
19	C₂×#235	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#235	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#235	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂²×D₁₂	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×D₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₃×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
25	C₂²×C₃×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	#946	—	2	1	no	—
27	#939	—	2	2	no	—
28	#938	—	2	1	no	—
29	#930	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#924	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#908	—	2	4	no	—
33	C₂×Dic₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	#904	—	2	4	no	—
35	C₂×D₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂×D₂₄	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×#204	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	C₂×#204	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	C₂×#204	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₃×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₃×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#821	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#821	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#821	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#816	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₂×H(5,𝔽₂)	—	3	1	no	—
47	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	3	1	no	—
48	C₂×#135	—	3	1	no	—
49	#537	—	3	1	no	—
50	#452	—	3	2	no	—
51	#450	—	3	2	no	—
52	#449	—	3	2	no	—
53	#447	—	3	2	no	—
54	#417	—	3	1	no	—
55	C₂×#102	—	3	1	no	—
56	#408	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
57	C₂³×D₃	—	2	2	no	—
58	C₂³×D₃	—	2	1	no	—
59	C₃×#41	—	2	2	no	—
60	C₃×#41	—	2	2	no	—
61	C₂×C₃×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₃×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₃×D₄	D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#67	—	2	2	no	—
67	C₂×#67	—	2	1	no	—
68	C₂×#67	—	2	1	no	—
69	C₂×#67	—	2	2	no	—
70	C₂²×Dic₃	—	2	1	no	—
71	#239	—	2	8	no	—
72	D₃×D₄	—	2	16	no	—
73	D₃×D₄	—	2	8	no	—
74	#235	—	2	2	no	—
75	#235	—	2	4	no	—
76	#235	—	2	2	no	—
77	#235	—	2	2	no	—
78	#235	—	2	4	no	—
79	#235	D₄	1	4	yes	complemented
80	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
81	C₂×D₁₂	—	2	1	no	—
82	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
83	C₂×D₁₂	—	2	4	no	—
84	C₂×D₁₂	—	2	4	no	—
85	C₂×D₁₂	D₄	1	4	yes	complemented
86	C₂×D₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×D₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×D₁₂	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×D₃	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×D₃	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×D₃	—	2	1	no	—
92	C₂×Dic₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×Dic₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₃×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×C₃×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂×C₃×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#217	—	2	2	no	—
100	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₄⋊Dic₃	—	2	1	no	—
102	C₄⋊Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
103	Dic₃⋊C₄	—	2	2	no	—
104	Dic₁₂	—	2	2	no	—
105	D₂₄	—	2	2	no	—
106	D₂₄	—	2	4	no	—
107	#204	—	2	2	no	—
108	#204	—	2	4	no	—
109	#204	—	2	2	no	—
110	H(5,𝔽₂)	—	6	4	no	—
111	H(5,𝔽₂)	—	6	4	no	—
112	C₂×#41	—	3	1	no	—
113	C₂×#41	—	3	1	no	—
114	C₂×#41	—	3	2	no	—
115	C₂×#41	—	6	1	no	—
116	C₂×#41	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₄	—	3	1	no	—
118	C₂²×D₄	—	3	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	6	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	6	1	no	—
121	AGL(1,ℤ/8)	—	6	4	no	—
122	#135	—	6	4	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	3	1	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	3	1	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	3	1	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	3	2	no	—
127	C₂×D₈	—	3	1	no	—
128	C₂×D₈	—	3	2	no	—
129	C₂×M₁₆	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
130	C₂²×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
131	C₂²⋊Q₈	—	3	2	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	6	1	no	—
133	#121	—	3	2	no	—
134	#121	—	6	1	no	—
135	#121	—	6	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
137	#103	—	3	2	no	—
138	#102	—	3	2	no	—
139	#102	—	3	2	no	—
140	#102	—	3	2	no	—
141	C₂²⋊C₈	C₂×D₃	1	2	yes	complemented
142	C₂²⋊C₈	C₂×D₃	1	2	yes	complemented
143	C₂³×C₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂³×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
146	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
147	C₂²×D₃	—	2	8	no	—
148	C₂²×D₃	—	2	4	no	—
149	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
150	C₂²×D₃	—	8	1	no	—
151	C₂²×D₃	—	8	2	no	—
152	C₂²×D₃	—	8	1	no	—
153	C₂²×D₃	—	8	2	no	—
154	C₃×Q₈	—	2	2	no	—
155	C₃×D₄	—	2	4	no	—
156	C₃×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	#67	—	2	8	no	—
165	#67	—	2	4	no	—
166	#67	—	4	2	no	—
167	#67	—	8	2	no	—
168	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
169	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
170	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
171	C₂×Dic₃	—	8	1	no	—
172	D₁₂	—	2	8	no	—
173	D₁₂	—	2	4	no	—
174	D₁₂	—	2	1	no	—
175	D₁₂	—	2	2	no	—
176	D₁₂	—	2	1	no	—
177	D₁₂	—	2	1	no	—
178	D₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	D₁₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₄×D₃	—	2	8	no	—
181	C₄×D₃	—	2	4	no	—
182	C₄×D₃	—	4	2	no	—
183	Dic₆	—	2	1	no	—
184	Dic₆	—	2	1	no	—
185	Dic₆	—	2	1	no	—
186	Dic₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₃×C₈	—	2	1	no	—
188	C₃×C₈	—	2	2	no	—
189	C₃×C₈	—	2	1	no	—
190	C₂⁴	—	6	2	no	—
191	C₂⁴	—	6	1	no	—
192	#41	—	2	2	no	—
193	#41	—	2	2	no	—
194	#41	—	3	4	no	—
195	#41	—	6	4	no	—
196	#41	—	6	4	no	—
197	#41	—	6	8	no	—
198	#41	—	6	2	no	—
199	#41	—	6	2	no	—
200	#41	—	6	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	3	1	no	—
202	C₂×Q₈	—	3	1	no	—
203	C₂×Q₈	D₁₂	1	1	yes	characteristic
204	C₂×D₄	—	3	4	no	—
205	C₂×D₄	—	3	2	no	—
206	C₂×D₄	—	3	1	no	—
207	C₂×D₄	—	3	1	no	—
208	C₂×D₄	—	6	4	no	—
209	C₂×D₄	—	6	4	no	—
210	C₂×D₄	—	6	16	no	—
211	C₂×D₄	—	6	8	no	—
212	C₂×D₄	—	6	2	no	—
213	C₂×D₄	—	6	1	no	—
214	C₂×D₄	—	6	1	no	—
215	C₂×D₄	—	6	2	no	—
216	C₂×D₄	—	6	2	no	—
217	C₂×D₄	—	6	1	no	—
218	C₂×D₄	—	6	2	no	—
219	C₂×D₄	D₁₂	1	2	yes	—
220	C₂×D₄	D₁₂	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	6	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	6	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	6	1	no	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
227	Q₁₆	—	6	2	no	—
228	SD₁₆	—	6	2	no	—
229	SD₁₆	—	6	4	no	—
230	SD₁₆	—	6	2	no	—
231	D₈	—	6	2	no	—
232	D₈	—	6	4	no	—
233	M₁₆	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₈	C₂²×D₃	1	2	yes	—
238	C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	6	1	no	—
240	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
243	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
244	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₃	#120	1	2	yes	—
249	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×D₃	—	2	4	no	—
251	C₂×D₃	—	2	2	no	—
252	C₂×D₃	—	4	2	no	—
253	C₂×D₃	—	4	1	no	—
254	C₂×D₃	—	4	2	no	—
255	C₂×D₃	—	4	1	no	—
256	C₂×D₃	—	4	1	no	—
257	C₂×D₃	—	4	1	no	—
258	C₂×D₃	—	4	1	no	—
259	C₂×D₃	—	8	4	no	—
260	C₂×D₃	—	8	8	no	—
261	C₃×C₄	—	2	2	no	—
262	C₃×C₄	#120	1	2	yes	—
263	C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	Dic₃	—	2	2	no	—
266	Dic₃	—	4	1	no	—
267	Dic₃	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	6	8	no	—
269	C₂³	—	6	2	no	—
270	C₂³	—	6	1	no	—
271	C₂³	—	6	4	no	—
272	C₂³	—	6	1	no	—
273	C₂³	—	24	1	no	—
274	C₂³	—	24	1	no	—
275	C₂³	—	24	2	no	—
276	C₂³	—	24	2	no	—
277	C₂³	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	2	2	no	—
280	Q₈	—	3	2	no	—
281	Q₈	—	6	1	no	—
282	Q₈	—	6	1	no	—
283	Q₈	—	6	1	no	—
284	D₄	—	2	4	no	—
285	D₄	—	2	2	no	—
286	D₄	—	3	4	no	—
287	D₄	—	3	2	no	—
288	D₄	—	6	8	no	—
289	D₄	—	6	8	no	—
290	D₄	—	6	4	no	—
291	D₄	—	6	4	no	—
292	D₄	—	6	1	no	—
293	D₄	—	6	2	no	—
294	D₄	—	6	1	no	—
295	D₄	—	6	1	no	—
296	D₄	—	12	2	no	—
297	D₄	—	24	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	6	8	no	—
301	C₂×C₄	—	6	1	no	—
302	C₂×C₄	—	6	4	no	—
303	C₂×C₄	—	6	2	no	—
304	C₂×C₄	—	6	1	no	—
305	C₂×C₄	—	12	2	no	—
306	C₂×C₄	—	24	1	no	—
307	C₂×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
312	C₈	—	2	1	no	—
313	C₈	—	2	1	no	—
314	C₈	—	2	2	no	—
315	C₂×C₃	—	2	2	no	—
316	C₂×C₃	—	4	2	no	—
317	C₂×C₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₃	#576	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₃	#577	1	1	yes	characteristic
320	D₃	—	4	4	no	—
321	D₃	—	4	2	no	—
322	D₃	—	8	1	no	—
323	C₂²	—	2	1	no	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	6	4	no	—
329	C₂²	—	6	2	no	—
330	C₂²	—	12	2	no	—
331	C₂²	—	12	1	no	—
332	C₂²	—	12	2	no	—
333	C₂²	—	12	1	no	—
334	C₂²	—	12	1	no	—
335	C₂²	—	12	1	no	—
336	C₂²	—	12	1	no	—
337	C₂²	—	24	4	no	—
338	C₂²	—	24	8	no	—
339	C₂²	#882	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂²×D₁₂	1	1	yes	characteristic
341	C₄	—	2	2	no	—
342	C₄	—	6	2	no	—
343	C₄	—	12	1	no	—
344	C₄	—	12	2	no	—
345	C₄	#882	1	2	yes	—
346	C₄	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₄	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₃	#3012	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
349	C₂	—	2	2	no	—
350	C₂	—	4	2	no	—
351	C₂	—	12	4	no	—
352	C₂	—	12	2	no	—
353	C₂	—	24	1	no	—
354	C₂	C₂×#882	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#5751	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#5752	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×D₁₂
commutator, cosocle	C₂×C₃×C₄	C₂⁴
Frattini	C₂×C₄	C₂³×D₃
Fitting	C₃×#408	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂²×D₄
hypercenter	#408	D₃
hypocenter	C₃	#3012
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#41 ◁ #408

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#1009	C₂	semidirect
2. #5833	C₂	semidirect
3. C₂×#908	C₂	semidirect
4. C₂×#904	C₂	semidirect
5. C₃×#408	C₂	semidirect
6. #5133	C₂	semidirect
7. C₂×#821	C₂	semidirect
8. #4734	C₂	semidirect
9. #4733	C₂	semidirect
10. #4732	C₂	semidirect
11. #4731	C₂	semidirect
21. C₂×#235	C₂²	semidirect
24. C₂×C₃×M₁₆	C₂²	semidirect
25. C₂²×C₃×C₈	C₂²	semidirect
29. #930	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	semidirect
31. #924	C₂²	semidirect
33. C₂×Dic₁₂	C₂²	semidirect
35. C₂×D₂₄	C₂²	semidirect
36. C₂×D₂₄	C₂²	semidirect
37. C₂×#204	C₂²	semidirect
38. C₂×#204	C₂²	semidirect
39. C₂×#204	C₂²	semidirect
40. C₃×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
41. C₃×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
42. #821	C₂²	semidirect
43. #821	C₂²	semidirect
44. #821	C₂²	semidirect
45. #816	C₂²	semidirect
56. #408	D₃	semidirect
79. #235	D₄	semidirect
85. C₂×D₁₂	D₄	semidirect
129. C₂×M₁₆	C₂×D₃	semidirect
130. C₂²×C₈	C₂×D₃	semidirect
141. C₂²⋊C₈	C₂×D₃	semidirect
142. C₂²⋊C₈	C₂×D₃	semidirect
348. C₃	#3012	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1009	2
#5833	2
C₂×#908	2
C₂×#904	2
C₃×#408	2
#5133	2
C₂×#821	2
#4734	2
#4733	2
#4732	2
#4731	2
#3012	3