Subgroups — #82163

Order 384.

788 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#930	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×#67	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#893	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#5213	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×#217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#4990	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#4989	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#4988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	Dic₃×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#4972	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2361	—	3	1	no	maximal, Sylow
13	C₂³×C₃×C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×C₃×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#67	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×D₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×D₃	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
19	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#217	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#217	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#930	C₄	1	8	yes	complemented
25	C₄×#67	—	2	8	no	—
26	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
35	#893	—	2	4	no	—
36	C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
39	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#121	—	3	1	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	3	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	3	1	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
44	#390	—	3	1	no	—
45	#389	—	3	1	no	—
46	#388	—	3	2	no	—
47	#386	—	3	2	no	—
48	#385	—	3	2	no	—
49	C₄×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
50	C₄×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
51	C₂⁴×C₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×D₃	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₃×C₄	—	4	2	no	—
58	C₂²×C₃×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
59	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#67	—	2	4	no	—
64	C₂×#67	—	2	4	no	—
65	C₂×#67	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
72	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
73	C₂×D₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
74	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×D₃	—	4	2	no	—
77	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₃×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	complemented
80	#217	—	2	2	no	—
81	#217	D₄	1	4	yes	complemented
82	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
83	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
84	(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	2	no	—
85	(C₂×D₃)⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
86	C₄⋊Dic₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
87	Dic₃⋊C₄	—	2	4	no	—
88	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
89	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
90	C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	3	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	3	1	no	—
93	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
96	#121	—	3	8	no	—
97	C₄×D₄	—	6	8	no	—
98	C₄×D₄	—	6	4	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
111	C₂×C₄²	—	3	1	no	—
112	C₂×C₄²	—	3	2	no	—
113	C₂×C₄²	—	3	1	no	—
114	#95	—	3	1	no	—
115	#95	—	3	1	no	—
116	#95	—	3	2	no	—
117	#95	—	3	2	no	—
118	C₂³×C₃	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₃	—	2	1	no	—
120	C₂³×C₃	—	2	1	no	—
121	C₂³×C₃	—	2	1	no	—
122	C₂³×C₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₃	#41	1	2	yes	—
125	C₂³×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
142	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
147	#67	—	2	16	no	—
148	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
149	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
150	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
151	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
152	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
153	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
154	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
155	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
156	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
157	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
158	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
159	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
160	C₂×Dic₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₂×Dic₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×Dic₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	D₁₂	—	2	8	no	—
164	C₄×D₃	—	4	8	no	—
165	C₂⁴	—	3	2	no	—
166	C₂⁴	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
167	C₂×D₄	—	3	8	no	—
168	C₂×D₄	—	3	4	no	—
169	C₂×D₄	—	6	4	no	—
170	C₂×D₄	—	6	4	no	—
171	C₂×D₄	—	6	2	no	—
172	C₂×D₄	—	6	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	12	2	no	—
186	C₂²×C₄	C₄×D₃	1	4	yes	complemented
187	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
191	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
195	C₄⋊C₄	#67	1	4	yes	complemented
196	C₂²⋊C₄	—	3	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	3	8	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
202	C₄²	—	6	4	no	—
203	C₄²	—	6	2	no	—
204	C₄²	—	6	2	no	—
205	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₃	C₄×D₄	1	4	yes	complemented
212	C₂²×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
219	C₂×D₃	—	2	4	no	—
220	C₂×D₃	—	2	4	no	—
221	C₂×D₃	—	2	4	no	—
222	C₂×D₃	—	4	2	no	—
223	C₂×D₃	—	4	2	no	—
224	C₂×D₃	—	4	2	no	—
225	C₂×D₃	—	4	2	no	—
226	C₃×C₄	—	2	2	no	—
227	C₃×C₄	—	2	4	no	—
228	C₃×C₄	—	4	2	no	—
229	C₃×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	complemented
230	Dic₃	—	2	4	no	—
231	Dic₃	—	2	2	no	—
232	Dic₃	—	2	2	no	—
233	Dic₃	—	4	1	no	—
234	Dic₃	—	4	1	no	—
235	C₂³	—	2	1	no	—
236	C₂³	—	2	1	no	—
237	C₂³	—	2	1	no	—
238	C₂³	—	2	1	no	—
239	C₂³	—	3	4	no	—
240	C₂³	—	6	2	no	—
241	C₂³	—	6	2	no	—
242	C₂³	—	6	2	no	—
243	C₂³	—	6	2	no	—
244	C₂³	—	6	2	no	—
245	C₂³	—	6	2	no	—
246	C₂³	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
247	C₂³	D₃×D₄	1	2	yes	—
248	C₂³	#239	1	2	yes	—
249	C₂³	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
250	D₄	—	6	16	no	—
251	D₄	—	6	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	3	4	no	—
261	C₂×C₄	—	3	2	no	—
262	C₂×C₄	—	3	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	8	no	—
264	C₂×C₄	—	6	1	no	—
265	C₂×C₄	—	6	2	no	—
266	C₂×C₄	—	6	1	no	—
267	C₂×C₄	—	6	2	no	—
268	C₂×C₄	—	6	1	no	—
269	C₂×C₄	—	6	1	no	—
270	C₂×C₄	—	6	1	no	—
271	C₂×C₄	—	6	1	no	—
272	C₂×C₄	—	6	1	no	—
273	C₂×C₄	—	6	1	no	—
274	C₂×C₄	—	6	1	no	—
275	C₂×C₄	—	6	1	no	—
276	C₂×C₄	—	12	8	no	—
277	C₂×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#235	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
282	C₂×C₃	—	2	4	no	—
283	C₂×C₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₃	#520	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₃	#547	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₃	#548	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₃	#553	1	1	yes	characteristic
290	D₃	—	4	4	no	—
291	C₂²	—	2	2	no	—
292	C₂²	—	2	2	no	—
293	C₂²	—	2	2	no	—
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	6	4	no	—
298	C₂²	—	6	4	no	—
299	C₂²	—	6	4	no	—
300	C₂²	—	12	2	no	—
301	C₂²	—	12	2	no	—
302	C₂²	—	12	2	no	—
303	C₂²	—	12	2	no	—
304	C₂²	#893	1	4	yes	complemented
305	C₂²	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	C₂×#235	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#1004	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂×#239	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#1007	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
312	C₄	—	2	2	no	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	4	2	no	—
315	C₄	—	6	4	no	—
316	C₄	—	6	2	no	—
317	C₄	—	6	2	no	—
318	C₄	—	12	1	no	—
319	C₄	—	12	1	no	—
320	C₄	C₄×#67	1	4	yes	complemented
321	C₃	#2361	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
322	C₂	—	2	4	no	—
323	C₂	—	12	4	no	—
324	C₂	C₂×#893	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#5504	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#5507	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#5514	1	1	yes	characteristic
328	C₂	C₂×C₄×#67	1	1	yes	characteristic
329	C₂	D₄×#67	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#5817	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₃
commutator	C₂²×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₃	C₂⁴
prime radical	C₂×#930	C₂
hypercenter	C₂²×C₄⋊C₄	D₃
hypocenter	C₃	#2361
LCS	G ▷ C₂²×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×#67	C₂	semidirect
4. C₂×#893	C₂	semidirect
5. #5213	C₂	semidirect
6. C₄×#217	C₂	semidirect
7. #4990	C₂	semidirect
8. #4989	C₂	semidirect
9. #4988	C₂	semidirect
10. Dic₃×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
11. #4972	C₂	semidirect
24. #930	C₄	semidirect
43. C₂²×C₄⋊C₄	D₃	semidirect
58. C₂²×C₃×C₄	C₂×C₄	semidirect
65. C₂×#67	C₂×C₄	semidirect
73. C₂×D₁₂	C₂×C₄	semidirect
79. C₃×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
81. #217	D₄	semidirect
85. (C₂×D₃)⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
86. C₄⋊Dic₃	C₂×C₄	semidirect
186. C₂²×C₄	C₄×D₃	semidirect
195. C₄⋊C₄	#67	semidirect
211. C₂²×C₃	C₄×D₄	semidirect
229. C₃×C₄	C₄×D₄	semidirect
304. C₂²	#893	semidirect
320. C₄	C₄×#67	semidirect
321. C₃	#2361	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×C₄⋊C₄	2
C₂×#930	2
C₂×C₄×#67	2
C₂×#893	2
#5213	2
C₄×#217	2
#4990	2
#4989	2
#4988	2
Dic₃×C₄⋊C₄	2
#4972	2
#2361	3