Subgroups — #82469

Order 384.

512 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 286 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#947	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#5229	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#4993	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#4992	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#4988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#4972	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#4940	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#4940	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#4939	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₄×Dic₃⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2448	—	3	1	no	maximal, Sylow
13	C₂²×C₃×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×D₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₃×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
16	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₃×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
20	#947	—	2	4	no	—
21	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₃⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#124	—	3	1	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#399	—	3	2	no	—
41	#397	—	3	2	no	—
42	#391	—	3	1	no	—
43	#390	—	3	1	no	—
44	#390	—	3	1	no	—
45	#389	—	3	1	no	—
46	#388	—	3	2	no	—
47	#388	—	3	2	no	—
48	C₄×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
49	C₂³×D₃	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₃×Q₈	D₄	1	4	yes	—
53	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
64	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
65	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
66	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₃×C₄²	—	2	4	no	—
69	C₃×C₄²	—	2	2	no	—
70	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
71	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
72	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
73	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
74	(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	2	no	—
75	(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	2	no	—
76	C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
77	Dic₃⋊C₄	—	2	2	no	—
78	Dic₃⋊C₄	—	2	2	no	—
79	Dic₃⋊C₄	—	4	2	no	—
80	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
81	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×Q₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	—	3	1	no	—
84	#124	—	6	4	no	—
85	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
98	C₂×C₄²	—	3	1	no	—
99	C₂×C₄²	—	3	1	no	—
100	C₂×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄²	C₂×D₃	1	2	yes	—
102	#95	—	3	1	no	—
103	#95	—	3	1	no	—
104	#95	—	3	2	no	—
105	#95	—	3	2	no	—
106	#95	—	3	2	no	—
107	C₂³×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
115	C₃×Q₈	—	2	8	no	—
116	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
129	C₂×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
130	C₂×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
131	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
132	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
133	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
134	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
135	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
136	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
137	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
138	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
139	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
140	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
141	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
142	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
143	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
144	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
145	C₂×Dic₃	#41	1	2	yes	—
146	D₁₂	—	4	4	no	—
147	C₂⁴	—	3	2	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂×Q₈	#67	1	4	yes	—
151	C₂×D₄	—	6	2	no	—
152	C₂×D₄	—	6	2	no	—
153	C₂×D₄	—	6	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
155	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
156	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
157	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
159	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
164	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
168	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
169	C₄⋊C₄	—	12	2	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
176	C₄²	—	2	4	no	—
177	C₄²	—	2	2	no	—
178	C₄²	—	6	2	no	—
179	C₄²	—	6	2	no	—
180	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂×D₃	—	4	2	no	—
188	C₂×D₃	—	4	2	no	—
189	C₂×D₃	—	4	2	no	—
190	C₂×D₃	—	4	2	no	—
191	C₂×D₃	—	4	2	no	—
192	C₂×D₃	—	4	2	no	—
193	C₂×D₃	—	4	2	no	—
194	C₃×C₄	—	2	4	no	—
195	C₃×C₄	—	2	2	no	—
196	C₃×C₄	—	4	1	no	—
197	C₃×C₄	—	4	2	no	—
198	C₃×C₄	#123	1	4	yes	—
199	Dic₃	—	2	2	no	—
200	Dic₃	—	4	1	no	—
201	Dic₃	—	4	1	no	—
202	Dic₃	—	4	1	no	—
203	Dic₃	—	4	2	no	—
204	C₂³	—	6	2	no	—
205	C₂³	—	6	2	no	—
206	C₂³	—	6	2	no	—
207	C₂³	—	6	2	no	—
208	C₂³	—	6	2	no	—
209	C₂³	—	6	2	no	—
210	C₂³	—	6	2	no	—
211	C₂³	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
212	Q₈	—	2	8	no	—
213	D₄	—	12	4	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂×C₄	—	3	2	no	—
225	C₂×C₄	—	6	1	no	—
226	C₂×C₄	—	6	1	no	—
227	C₂×C₄	—	6	1	no	—
228	C₂×C₄	—	6	2	no	—
229	C₂×C₄	—	6	2	no	—
230	C₂×C₄	—	6	1	no	—
231	C₂×C₄	—	6	1	no	—
232	C₂×C₄	—	6	1	no	—
233	C₂×C₄	—	6	1	no	—
234	C₂×C₄	—	6	1	no	—
235	C₂×C₄	—	6	2	no	—
236	C₂×C₄	—	6	1	no	—
237	C₂×C₄	—	6	1	no	—
238	C₂×C₄	—	6	1	no	—
239	C₂×C₄	#235	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	#235	1	2	yes	—
241	C₂×C₄	#239	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
243	C₂×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
244	C₂×C₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₃	#529	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₃	#542	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₃	#548	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₃	#550	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₃	#556	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₃	#559	1	1	yes	characteristic
251	D₃	—	8	2	no	—
252	C₂²	—	12	2	no	—
253	C₂²	—	12	2	no	—
254	C₂²	—	12	2	no	—
255	C₂²	—	12	2	no	—
256	C₂²	—	12	2	no	—
257	C₂²	—	12	2	no	—
258	C₂²	—	12	2	no	—
259	C₂²	C₂×#235	1	1	yes	characteristic
260	C₂²	C₂×#235	1	1	yes	characteristic
261	C₂²	C₂×#239	1	1	yes	characteristic
262	C₂²	#1007	1	1	yes	characteristic
263	C₂²	D₃×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₂²	#1009	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
266	C₄	—	2	4	no	—
267	C₄	—	2	2	no	—
268	C₄	—	4	2	no	—
269	C₄	—	4	1	no	—
270	C₄	—	6	2	no	—
271	C₄	—	12	1	no	—
272	C₄	—	12	1	no	—
273	C₄	—	12	1	no	—
274	C₄	—	12	2	no	—
275	C₄	#929	1	4	yes	—
276	C₃	#2448	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
277	C₂	—	24	2	no	—
278	C₂	#5568	1	1	yes	characteristic
279	C₂	#5580	1	1	yes	characteristic
280	C₂	#5582	1	1	yes	characteristic
281	C₂	#5585	1	1	yes	characteristic
282	C₂	C₂×#929	1	1	yes	characteristic
283	C₂	#5817	1	1	yes	characteristic
284	C₂	#5834	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₃
commutator, socle, cosocle	C₂³×C₃	C₂⁴
Fitting	C₂×C₃×C₄×Q₈	C₂
prime radical	C₂²×D₁₂	C₂²
hypercenter	C₂×C₄×Q₈	D₃
hypocenter	C₃	#2448
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₃×C₄×Q₈	C₂	semidirect
3. #5229	C₂	semidirect
4. #4993	C₂	semidirect
5. #4992	C₂	semidirect
7. #4972	C₂	semidirect
8. #4940	C₂	semidirect
9. #4940	C₂	semidirect
11. C₄×Dic₃⋊C₄	C₂	semidirect
39. C₂×C₄×Q₈	D₃	semidirect
276. C₃	#2448	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×C₄×Q₈	2
C₂×#947	2
#5229	2
#4993	2
#4992	2
#4988	2
#4972	2
#4940	2
#4939	2
C₄×Dic₃⋊C₄	2
#2448	3