Subgroups — #84102

Order 384.

764 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#5833	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#950	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#932	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#5239	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#5238	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#5234	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#5232	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#5218	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#5217	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₂×#832	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3012	—	3	1	no	maximal, Sylow
13	C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
14	C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
15	C₂×C₃×#41	—	2	1	no	—
16	C₂×C₃×#41	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₃×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₃×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₃×D₄	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₃×D₄	—	2	2	no	—
21	C₂²×C₃×D₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₃×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#235	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
24	#950	—	2	4	no	—
25	#946	—	2	1	no	—
26	C₂×#216	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₂×#215	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	#939	—	2	2	no	—
29	#938	—	2	1	no	—
30	C₂×#214	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂×#214	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#932	—	2	4	no	—
33	C₂×#213	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₂×#213	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#930	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#924	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂×#208	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	C₂²×C₃⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#835	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#832	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#832	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#832	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#830	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#830	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₂×H(5,𝔽₂)	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
47	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	3	1	no	—
48	C₂×#135	—	3	1	no	—
49	#537	—	3	1	no	—
50	#452	—	3	2	no	—
51	#450	—	3	2	no	—
52	#449	—	3	2	no	—
53	#447	—	3	2	no	—
54	#417	—	3	1	no	—
55	C₂×#102	—	3	1	no	—
56	#408	—	3	1	no	—
57	C₂⁴×C₃	—	2	2	no	—
58	C₂⁴×C₃	—	2	1	no	—
59	C₃×#41	—	2	8	no	—
60	C₃×#41	—	2	4	no	—
61	C₃×#41	—	2	4	no	—
62	C₃×#41	—	2	2	no	—
63	C₃×#41	—	2	2	no	—
64	C₃×#41	—	2	2	no	—
65	C₃×#41	D₄	1	4	yes	complemented
66	C₂×C₃×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₃×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₃×D₄	—	2	16	no	—
69	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
70	C₂×C₃×D₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₃×D₄	—	2	1	no	—
72	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₃×D₄	—	2	2	no	—
75	C₂×C₃×D₄	—	2	1	no	—
76	C₂×C₃×D₄	—	2	2	no	—
77	C₂×C₃×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₃×D₄	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₃×D₄	D₄	1	4	yes	complemented
80	C₂×C₃×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₃×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₃×C₄	—	2	1	no	—
84	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#67	—	2	1	no	—
87	C₂×#67	—	2	2	no	—
88	C₂²×Dic₃	—	2	1	no	—
89	#235	—	2	2	no	—
90	#235	—	2	2	no	—
91	C₂×D₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×D₃	—	2	1	no	—
93	C₂×Dic₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#217	—	2	2	no	—
95	#216	—	2	2	no	—
96	#215	—	2	2	no	—
97	#214	—	2	4	no	—
98	#214	—	2	2	no	—
99	#213	—	2	4	no	—
100	#213	—	2	2	no	—
101	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	2	no	—
102	C₄⋊Dic₃	—	2	1	no	—
103	C₄⋊Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
104	Dic₃⋊C₄	—	2	2	no	—
105	#208	—	2	2	no	—
106	C₂×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
107	C₂×C₃⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₃⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₃⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
110	H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
111	H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	1	no	—
113	C₂×#41	—	3	1	no	—
114	C₂×#41	C₂×D₃	1	2	yes	—
115	C₂×#41	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
116	C₂×#41	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂²×D₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
121	AGL(1,ℤ/8)	—	6	4	no	—
122	#135	—	6	4	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	3	1	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	3	1	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	3	1	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	3	2	no	—
127	C₂×D₈	—	3	1	no	—
128	C₂×D₈	—	3	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	3	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	3	1	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	3	2	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	6	1	no	—
133	#121	—	3	2	no	—
134	#121	—	6	1	no	—
135	#121	—	6	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
137	#103	—	3	2	no	—
138	#102	—	3	2	no	—
139	#102	—	3	2	no	—
140	#102	—	3	2	no	—
141	C₂²⋊C₈	—	3	2	no	—
142	C₂²⋊C₈	—	3	2	no	—
143	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
144	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
145	C₂³×C₃	—	2	1	no	—
146	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
147	C₂³×C₃	—	8	1	no	—
148	C₂³×C₃	—	8	1	no	—
149	C₂³×C₃	—	8	2	no	—
150	C₂³×C₃	—	8	2	no	—
151	C₂³×C₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂³×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×D₃	—	2	1	no	—
154	C₃×Q₈	—	2	2	no	—
155	C₃×Q₈	—	2	1	no	—
156	C₃×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₃×D₄	—	2	8	no	—
158	C₃×D₄	—	2	8	no	—
159	C₃×D₄	—	2	4	no	—
160	C₃×D₄	—	2	4	no	—
161	C₃×D₄	—	2	2	no	—
162	C₃×D₄	—	2	4	no	—
163	C₃×D₄	—	2	2	no	—
164	C₃×D₄	—	2	1	no	—
165	C₃×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₃×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	#67	—	4	2	no	—
178	#67	—	8	2	no	—
179	C₂×Dic₃	—	2	1	no	—
180	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
181	C₂×Dic₃	—	8	1	no	—
182	D₁₂	—	2	1	no	—
183	D₁₂	—	2	1	no	—
184	C₄×D₃	—	4	2	no	—
185	Dic₆	—	2	1	no	—
186	Dic₆	—	2	1	no	—
187	C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
188	C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
189	C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
190	C₂⁴	—	2	2	no	—
191	C₂⁴	—	2	1	no	—
192	#41	—	2	8	no	—
193	#41	—	2	4	no	—
194	#41	—	2	4	no	—
195	#41	—	2	2	no	—
196	#41	—	2	2	no	—
197	#41	—	2	2	no	—
198	#41	—	6	2	no	—
199	#41	—	6	2	no	—
200	#41	#67	1	4	yes	complemented
201	C₂×Q₈	—	3	1	no	—
202	C₂×Q₈	#67	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Q₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
204	C₂×D₄	—	2	16	no	—
205	C₂×D₄	—	2	8	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	1	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	1	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	3	1	no	—
214	C₂×D₄	—	6	1	no	—
215	C₂×D₄	—	6	2	no	—
216	C₂×D₄	#67	1	2	yes	—
217	C₂×D₄	#67	1	1	yes	characteristic
218	C₂×D₄	#67	1	4	yes	complemented
219	C₂×D₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂×D₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	6	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	6	1	no	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
227	Q₁₆	—	6	2	no	—
228	SD₁₆	—	6	2	no	—
229	SD₁₆	—	6	2	no	—
230	SD₁₆	—	6	4	no	—
231	D₈	—	6	2	no	—
232	D₈	—	6	4	no	—
233	M₁₆	—	6	2	no	—
234	C₂×C₈	—	3	1	no	—
235	C₂×C₈	—	3	1	no	—
236	C₂×C₈	—	3	2	no	—
237	C₂×C₈	—	6	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	6	1	no	—
240	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
243	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
244	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₃	—	4	1	no	—
252	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₃	—	4	1	no	—
254	C₂²×C₃	—	8	4	no	—
255	C₂²×C₃	—	8	8	no	—
256	C₂²×C₃	#120	1	2	yes	—
257	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×D₃	—	4	1	no	—
259	C₂×D₃	—	4	1	no	—
260	C₂×D₃	—	4	1	no	—
261	C₃×C₄	—	2	2	no	—
262	C₃×C₄	—	2	2	no	—
263	C₃×C₄	#120	1	2	yes	—
264	C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	Dic₃	—	4	1	no	—
267	Dic₃	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	2	8	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	1	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	6	1	no	—
273	C₂³	—	8	1	no	—
274	C₂³	—	8	1	no	—
275	C₂³	—	8	2	no	—
276	C₂³	—	8	2	no	—
277	C₂³	C₂×#67	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	2	2	no	—
280	Q₈	—	2	1	no	—
281	Q₈	—	6	1	no	—
282	Q₈	—	6	1	no	—
283	Q₈	C₂×#67	1	2	yes	—
284	D₄	—	2	8	no	—
285	D₄	—	2	8	no	—
286	D₄	—	2	4	no	—
287	D₄	—	2	4	no	—
288	D₄	—	2	2	no	—
289	D₄	—	2	4	no	—
290	D₄	—	2	2	no	—
291	D₄	—	2	1	no	—
292	D₄	—	6	1	no	—
293	D₄	—	6	1	no	—
294	D₄	—	12	2	no	—
295	D₄	—	24	2	no	—
296	D₄	C₂×#67	1	2	yes	—
297	D₄	C₂×#67	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	6	2	no	—
304	C₂×C₄	—	6	1	no	—
305	C₂×C₄	—	12	2	no	—
306	C₂×C₄	—	24	1	no	—
307	C₂×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
312	C₈	—	6	1	no	—
313	C₈	—	6	1	no	—
314	C₈	—	6	2	no	—
315	C₂×C₃	—	2	2	no	—
316	C₂×C₃	—	4	2	no	—
317	C₂×C₃	—	4	4	no	—
318	C₂×C₃	—	4	2	no	—
319	C₂×C₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₃	#576	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₃	#577	1	1	yes	characteristic
322	D₃	—	8	1	no	—
323	C₂²	—	2	1	no	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	1	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	1	no	—
334	C₂²	—	8	4	no	—
335	C₂²	—	8	8	no	—
336	C₂²	—	12	1	no	—
337	C₂²	—	12	1	no	—
338	C₂²	—	12	1	no	—
339	C₂²	#953	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
341	C₄	—	2	2	no	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	12	2	no	—
344	C₄	—	12	1	no	—
345	C₄	#953	1	2	yes	—
346	C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
347	C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
348	C₃	#3012	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
349	C₂	—	2	2	no	—
350	C₂	—	4	2	no	—
351	C₂	—	4	4	no	—
352	C₂	—	4	2	no	—
353	C₂	—	24	1	no	—
354	C₂	#5835	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#5836	1	1	yes	characteristic
356	C₂	C₂×#953	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#67
commutator, cosocle	C₂×C₃×C₄	C₂⁴
Frattini	C₂×C₄	C₂³×D₃
Fitting	C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₂×H(5,𝔽₂)	D₃
hypocenter	C₃	#3012
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#41 ◁ C₂×H(5,𝔽₂)

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	C₂	semidirect
2. #5833	C₂	semidirect
3. C₂×#950	C₂	semidirect
4. C₂×#932	C₂	semidirect
5. #5239	C₂	semidirect
6. #5238	C₂	semidirect
7. #5234	C₂	semidirect
8. #5232	C₂	semidirect
9. #5218	C₂	semidirect
10. #5217	C₂	semidirect
11. C₂×#832	C₂	semidirect
23. C₂×#235	C₂²	semidirect
26. C₂×#216	C₂²	semidirect
27. C₂×#215	C₂²	semidirect
30. C₂×#214	C₂²	semidirect
31. C₂×#214	C₂²	semidirect
33. C₂×#213	C₂²	semidirect
34. C₂×#213	C₂²	semidirect
35. #930	C₂²	semidirect
36. C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	semidirect
37. #924	C₂²	semidirect
38. C₂×#208	C₂²	semidirect
39. C₂²×C₃⋊C₈	C₂²	semidirect
40. #835	C₂²	semidirect
41. #832	C₂²	semidirect
42. #832	C₂²	semidirect
43. #832	C₂²	semidirect
44. #830	C₂²	semidirect
45. #830	C₂²	semidirect
46. C₂×H(5,𝔽₂)	D₃	semidirect
65. C₃×#41	D₄	semidirect
79. C₂×C₃×D₄	D₄	semidirect
200. #41	#67	semidirect
218. C₂×D₄	#67	semidirect
348. C₃	#3012	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	2
#5833	2
C₂×#950	2
C₂×#932	2
#5239	2
#5238	2
#5234	2
#5232	2
#5218	2
#5217	2
C₂×#832	2
#3012	3