Subgroups — #85289

Order 384.

497 conjugacy classes of subgroups.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄⋊S₄	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
2	C₄²×A₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2856	—	3	1	no	maximal, Sylow
4	C₂²×S₄	C₂²	1	4	yes	—
5	C₂×C₄×A₄	C₂²	1	3	yes	—
6	C₄⋊S₄	—	2	12	no	—
7	#874	—	4	1	no	maximal
8	C₂×#127	—	3	1	no	—
9	C₂×#121	—	3	6	no	—
10	C₂²×C₄²	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
11	#390	—	3	6	no	—
12	#384	—	3	1	no	—
13	C₂²×A₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
14	C₂×S₄	—	2	12	no	—
15	C₂×D₁₂	—	4	6	no	—
16	C₄×A₄	D₄	1	6	yes	complemented
17	C₃×C₄²	—	4	1	no	—
18	C₂²×D₄	—	3	6	no	—
19	C₂²×D₄	—	3	4	no	—
20	C₂³×C₄	C₂×D₃	1	3	yes	—
21	#127	—	6	3	no	—
22	#127	—	6	1	no	—
23	#121	—	6	12	no	—
24	#121	—	6	12	no	—
25	C₂×C₄⋊C₄	—	3	6	no	—
26	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	12	no	—
27	C₂×C₄²	—	3	1	no	—
28	C₂×C₄²	—	3	3	no	—
29	C₂²×D₃	—	4	4	no	—
30	C₂×A₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
31	S₄	—	4	4	no	—
32	C₂×C₃×C₄	—	4	3	no	—
33	D₁₂	—	8	12	no	—
34	C₂⁴	—	3	4	no	—
35	C₂⁴	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
36	C₂×D₄	—	6	12	no	—
37	C₂×D₄	—	6	6	no	—
38	C₂×D₄	—	6	12	no	—
39	C₂×D₄	—	6	12	no	—
40	C₂×D₄	—	6	12	no	—
41	C₂×D₄	—	6	6	no	—
42	C₂²×C₄	—	3	3	no	—
43	C₂²×C₄	—	3	3	no	—
44	C₂²×C₄	—	3	6	no	—
45	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
46	C₂²×C₄	D₁₂	1	6	yes	complemented
47	C₄⋊C₄	—	6	12	no	—
48	C₂²⋊C₄	—	6	24	no	—
49	C₄²	—	3	3	no	—
50	C₄²	—	6	1	no	—
51	C₄²	S₄	1	1	yes	characteristic, complemented
52	C₂²×C₃	—	4	1	no	—
53	C₂×D₃	—	8	12	no	—
54	A₄	#127	1	1	yes	characteristic, complemented
55	C₃×C₄	—	4	6	no	—
56	C₂³	—	3	1	no	—
57	C₂³	—	3	3	no	—
58	C₂³	—	6	12	no	—
59	C₂³	—	6	12	no	—
60	C₂³	—	6	4	no	—
61	C₂³	C₂×D₁₂	1	3	yes	—
62	D₄	—	12	12	no	—
63	D₄	—	12	12	no	—
64	D₄	—	12	4	no	—
65	D₄	—	12	12	no	—
66	C₂×C₄	—	3	3	no	—
67	C₂×C₄	—	3	6	no	—
68	C₂×C₄	—	3	6	no	—
69	C₂×C₄	—	3	6	no	—
70	C₂×C₄	—	6	3	no	—
71	C₂×C₄	—	6	12	no	—
72	C₂×C₄	C₂×S₄	1	3	yes	—
73	C₂×C₃	—	4	3	no	—
74	D₃	—	16	4	no	—
75	C₂²	—	3	3	no	—
76	C₂²	—	3	3	no	—
77	C₂²	—	3	3	no	—
78	C₂²	—	6	1	no	—
79	C₂²	—	12	4	no	—
80	C₂²	—	12	12	no	—
81	C₂²	—	12	12	no	—
82	C₂²	#874	1	1	yes	characteristic, complemented
83	C₂²	C₂²×S₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄	—	3	6	no	—
85	C₄	—	12	4	no	—
86	C₄	C₄⋊S₄	1	6	yes	complemented
87	C₃	—	4	1	no	Sylow
88	C₂	—	3	1	no	—
89	C₂	—	3	3	no	—
90	C₂	—	24	4	no	—
91	C₂	C₂×C₄⋊S₄	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂²×S₄
commutator, cosocle	C₂²×A₄	C₂³
Fitting	C₂²×C₄²	D₃
socle	C₂⁴	C₂²×D₃
hypercenter	C₄²	S₄
hypocenter	A₄	#127
LCS	G ▷ C₂²×A₄ ▷ A₄
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄²

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₄⋊S₄	C₂	semidirect
2. C₄²×A₄	C₂	semidirect
10. C₂²×C₄²	D₃	semidirect
16. C₄×A₄	D₄	semidirect
46. C₂²×C₄	D₁₂	semidirect
51. C₄²	S₄	semidirect
54. A₄	#127	semidirect
82. C₂²	#874	semidirect
86. C₄	C₄⋊S₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄⋊S₄	2
C₄²×A₄	2
#2856	3
#874	4