Subgroups — #87285

Order 384.

1658 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 322 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₃×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#5834	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#5833	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#5831	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#5828	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#5827	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#5806	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	#5805	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	D₄×#67	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
11	C₂×#938	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
12	#3488	—	3	1	no	maximal, Sylow
13	C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
14	C₂×C₃×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₃×#41	C₂²	1	3	yes	complemented
16	C₂×C₃×#41	C₂²	1	2	yes	complemented
17	C₂²×C₃×D₄	C₂²	1	3	yes	complemented
18	C₂²×C₃×D₄	C₂²	1	6	yes	complemented
19	C₂²×#67	C₂²	1	6	yes	complemented
20	D₃×#41	—	2	8	no	—
21	C₂×#239	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×D₃×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂×#237	C₂²	1	3	yes	complemented
24	C₂×D₃×D₄	C₂²	1	3	yes	complemented
25	C₂×#235	C₂²	1	3	yes	complemented
26	C₂²×C₄×D₃	C₂²	1	3	yes	complemented
27	#953	C₂²	1	12	yes	complemented
28	C₂×#217	C₂²	1	6	yes	complemented
29	#946	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#946	C₂²	1	3	yes	complemented
31	Q₈×Dic₃	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#940	C₂²	1	6	yes	complemented
33	#939	C₂²	1	12	yes	complemented
34	#938	C₂²	1	3	yes	complemented
35	#938	C₂²	1	6	yes	complemented
36	#938	C₂²	1	6	yes	complemented
37	#938	C₂²	1	6	yes	complemented
38	#938	C₂²	1	3	yes	complemented
39	#937	C₂²	1	6	yes	complemented
40	#936	C₂²	1	6	yes	complemented
41	#935	C₂²	1	6	yes	complemented
42	D₄×Dic₃	C₂²	1	6	yes	complemented
43	#930	C₂²	1	6	yes	complemented
44	C₄×#67	C₂²	1	6	yes	complemented
45	C₄×#67	C₂²	1	6	yes	complemented
46	#926	C₂²	1	3	yes	complemented
47	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	3	yes	complemented
48	#924	C₂²	1	6	yes	complemented
49	C₂×H(5,𝔽₂)	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
50	C₂²×#41	—	3	1	no	—
51	#550	—	3	2	no	—
52	#548	—	3	2	no	—
53	#546	—	3	6	no	—
54	D₄²	—	3	6	no	—
55	#537	—	3	3	no	—
56	#535	—	3	3	no	—
57	#525	—	3	3	no	—
58	C₂×#121	—	3	3	no	—
59	#520	—	3	1	no	—
60	C₂⁴×C₃	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂³×D₃	C₂³	1	3	yes	—
62	C₃×#41	—	2	8	no	—
63	C₃×#41	—	2	12	no	—
64	C₃×#41	D₄	1	8	yes	complemented
65	C₂×C₃×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₃×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₃×D₄	—	2	24	no	—
68	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
69	C₂×C₃×D₄	C₂³	1	6	yes	—
70	C₂×C₃×D₄	C₂³	1	6	yes	—
71	C₂×C₃×D₄	C₂³	1	3	yes	—
72	C₂×C₃×D₄	C₂³	1	3	yes	—
73	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂²×C₃×C₄	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂×#67	—	4	12	no	—
76	C₂×#67	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂×#67	C₂³	1	6	yes	—
78	C₂×#67	C₂³	1	6	yes	—
79	C₂×#67	C₂³	1	12	yes	—
80	C₂²×Dic₃	C₂³	1	3	yes	—
81	C₂²×Dic₃	C₂³	1	6	yes	—
82	#239	—	2	4	no	—
83	D₃×Q₈	—	2	4	no	—
84	#237	—	2	12	no	—
85	D₃×D₄	—	2	12	no	—
86	#235	—	2	12	no	—
87	C₂×D₁₂	C₂³	1	3	yes	—
88	C₂×C₄×D₃	—	2	12	no	—
89	C₂×C₄×D₃	C₂³	1	3	yes	—
90	C₂×C₄×D₃	C₂³	1	3	yes	—
91	C₂×C₄×D₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×D₃	C₂³	1	3	yes	—
93	C₂×Dic₆	C₂³	1	3	yes	—
94	#217	C₂³	1	12	yes	—
95	#217	C₂³	1	6	yes	—
96	#217	C₂³	1	6	yes	—
97	#217	C₂³	1	6	yes	—
98	(C₂×D₃)⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	(C₂×D₃)⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
100	C₄⋊Dic₃	C₂³	1	6	yes	—
101	C₄⋊Dic₃	C₂³	1	3	yes	—
102	C₄⋊Dic₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	Dic₃⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
104	Dic₃⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₄×Dic₃	C₂³	1	6	yes	—
106	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
107	C₂×#41	—	3	1	no	—
108	C₂×#41	—	3	3	no	—
109	C₂×#41	—	3	3	no	—
110	C₂×#41	—	6	8	no	—
111	C₂×#41	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
112	C₂×#41	C₂×D₃	1	3	yes	complemented
113	C₂×#41	C₂×D₃	1	2	yes	complemented
114	C₂²×Q₈	—	3	1	no	—
115	C₂²×D₄	—	3	6	no	—
116	C₂²×D₄	—	3	3	no	—
117	C₂²×D₄	C₂×D₃	1	3	yes	complemented
118	C₂²×D₄	C₂×D₃	1	6	yes	complemented
119	C₂³×C₄	—	3	3	no	—
120	#127	—	3	6	no	—
121	#124	—	3	6	no	—
122	#123	—	3	6	no	—
123	C₂²⋊Q₈	—	3	1	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	3	3	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	3	6	no	—
126	#121	—	3	3	no	—
127	#121	—	3	6	no	—
128	#121	—	3	6	no	—
129	#121	—	3	6	no	—
130	#121	—	3	3	no	—
131	#121	—	3	12	no	—
132	#121	—	3	6	no	—
133	#120	—	3	12	no	—
134	#120	—	3	6	no	—
135	C₄×Q₈	—	3	2	no	—
136	C₄×D₄	—	3	6	no	—
137	C₄×D₄	—	3	6	no	—
138	C₄×D₄	—	3	6	no	—
139	#117	—	3	3	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	3	3	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	6	no	—
142	C₂³×C₃	—	2	12	no	—
143	C₂³×C₃	—	4	6	no	—
144	C₂³×C₃	—	4	6	no	—
145	C₂³×C₃	C₂⁴	1	6	yes	—
146	C₂³×C₃	C₂⁴	1	3	yes	—
147	C₂²×D₃	—	2	6	no	—
148	C₂²×D₃	—	2	6	no	—
149	C₂²×D₃	—	4	3	no	—
150	C₂²×D₃	C₂⁴	1	3	yes	—
151	C₂²×D₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₃×Q₈	—	2	2	no	—
153	C₃×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
154	C₃×D₄	—	2	12	no	—
155	C₃×D₄	—	2	12	no	—
156	C₃×D₄	—	2	6	no	—
157	C₃×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
158	C₂×C₃×C₄	—	2	12	no	—
159	C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
160	C₂×C₃×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂×C₃×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
162	C₂×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	#67	—	2	12	no	—
164	#67	—	2	12	no	—
165	#67	—	4	12	no	—
166	#67	—	4	6	no	—
167	C₂×Dic₃	—	2	6	no	—
168	C₂×Dic₃	—	4	6	no	—
169	C₂×Dic₃	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂×Dic₃	C₂⁴	1	6	yes	—
171	C₂×Dic₃	C₂⁴	1	3	yes	—
172	C₂×Dic₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	D₁₂	—	2	6	no	—
174	C₄×D₃	—	2	2	no	—
175	C₄×D₃	—	2	6	no	—
176	C₄×D₃	—	2	6	no	—
177	C₄×D₃	—	2	6	no	—
178	Dic₆	—	2	6	no	—
179	C₂⁴	—	3	3	no	—
180	C₂⁴	C₂²×D₃	1	6	yes	—
181	#41	—	2	8	no	—
182	#41	—	2	12	no	—
183	#41	—	6	4	no	—
184	#41	—	6	12	no	—
185	#41	—	6	12	no	—
186	#41	#67	1	8	yes	complemented
187	C₂×Q₈	—	3	3	no	—
188	C₂×Q₈	—	6	4	no	—
189	C₂×Q₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
190	C₂×Q₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
191	C₂×D₄	—	2	24	no	—
192	C₂×D₄	—	2	12	no	—
193	C₂×D₄	—	3	6	no	—
194	C₂×D₄	—	3	6	no	—
195	C₂×D₄	—	3	6	no	—
196	C₂×D₄	—	3	12	no	—
197	C₂×D₄	—	3	3	no	—
198	C₂×D₄	—	6	12	no	—
199	C₂×D₄	—	12	12	no	—
200	C₂×D₄	C₂²×D₃	1	6	yes	—
201	C₂×D₄	C₂²×D₃	1	3	yes	—
202	C₂×D₄	C₂²×D₃	1	6	yes	—
203	C₂×D₄	C₂²×D₃	1	3	yes	—
204	C₂²×C₄	—	3	3	no	—
205	C₂²×C₄	—	3	6	no	—
206	C₂²×C₄	—	3	3	no	—
207	C₂²×C₄	—	3	3	no	—
208	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	3	3	no	—
210	C₂²×C₄	—	6	12	no	—
211	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	6	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×D₃	1	3	yes	—
213	C₄⋊C₄	—	3	3	no	—
214	C₄⋊C₄	—	3	6	no	—
215	C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
216	C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	3	6	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	3	6	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	3	12	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	3	6	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	3	6	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	3	6	no	—
224	C₄²	—	3	6	no	—
225	C₂²×C₃	—	2	3	no	—
226	C₂²×C₃	—	2	3	no	—
227	C₂²×C₃	—	2	6	no	—
228	C₂²×C₃	—	2	6	no	—
229	C₂²×C₃	—	2	6	no	—
230	C₂²×C₃	—	8	12	no	—
231	C₂²×C₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
232	C₂²×C₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
233	C₂×D₃	—	2	1	no	—
234	C₂×D₃	—	2	1	no	—
235	C₂×D₃	—	2	3	no	—
236	C₂×D₃	—	2	3	no	—
237	C₂×D₃	—	2	3	no	—
238	C₂×D₃	—	4	12	no	—
239	C₂×D₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	complemented
240	C₃×C₄	—	2	2	no	—
241	C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
242	C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
243	Dic₃	—	2	3	no	—
244	Dic₃	—	2	1	no	—
245	Dic₃	—	2	6	no	—
246	Dic₃	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	12	no	—
248	C₂³	—	3	1	no	—
249	C₂³	—	3	3	no	—
250	C₂³	—	4	6	no	—
251	C₂³	—	4	6	no	—
252	C₂³	—	6	6	no	—
253	C₂³	—	6	6	no	—
254	C₂³	—	12	3	no	—
255	C₂³	C₂³×D₃	1	6	yes	—
256	C₂³	C₂³×D₃	1	3	yes	—
257	Q₈	—	2	2	no	—
258	Q₈	—	6	6	no	—
259	Q₈	C₂×#67	1	4	yes	complemented
260	D₄	—	2	12	no	—
261	D₄	—	2	12	no	—
262	D₄	—	2	6	no	—
263	D₄	—	6	12	no	—
264	D₄	—	6	12	no	—
265	D₄	—	6	6	no	—
266	D₄	—	12	12	no	—
267	D₄	—	12	6	no	—
268	D₄	C₂×#67	1	12	yes	complemented
269	C₂×C₄	—	2	12	no	—
270	C₂×C₄	—	3	2	no	—
271	C₂×C₄	—	3	6	no	—
272	C₂×C₄	—	3	1	no	—
273	C₂×C₄	—	3	3	no	—
274	C₂×C₄	—	6	6	no	—
275	C₂×C₄	—	6	2	no	—
276	C₂×C₄	—	6	6	no	—
277	C₂×C₄	—	6	6	no	—
278	C₂×C₄	—	6	6	no	—
279	C₂×C₄	—	12	6	no	—
280	C₂×C₄	C₂×#67	1	12	yes	complemented
281	C₂×C₄	C₂³×D₃	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂³×D₃	1	3	yes	—
283	C₂×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₃	—	2	6	no	—
285	C₂×C₃	—	4	6	no	—
286	C₂×C₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₃	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₃	#585	1	1	yes	characteristic
289	D₃	—	2	2	no	—
290	D₃	—	4	3	no	—
291	C₂²	—	2	3	no	—
292	C₂²	—	2	3	no	—
293	C₂²	—	2	6	no	—
294	C₂²	—	2	6	no	—
295	C₂²	—	2	6	no	—
296	C₂²	—	3	2	no	—
297	C₂²	—	6	1	no	—
298	C₂²	—	6	1	no	—
299	C₂²	—	6	3	no	—
300	C₂²	—	6	3	no	—
301	C₂²	—	6	3	no	—
302	C₂²	—	8	12	no	—
303	C₂²	—	12	12	no	—
304	C₂²	C₂²×#67	1	6	yes	—
305	C₂²	C₂⁴×D₃	1	1	yes	characteristic
306	C₄	—	2	2	no	—
307	C₄	—	6	6	no	—
308	C₄	—	6	2	no	—
309	C₄	—	6	1	no	—
310	C₄	—	6	3	no	—
311	C₄	C₂²×#67	1	6	yes	—
312	C₄	C₂²×#67	1	2	yes	—
313	C₃	#3488	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
314	C₂	—	2	6	no	—
315	C₂	—	4	6	no	—
316	C₂	—	6	2	no	—
317	C₂	—	12	3	no	—
318	C₂	D₃×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#5966	1	1	yes	characteristic
320	C₂	C₂³×#67	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²	C₂⁴×D₃
commutator, socle, cosocle	C₂²×C₃	C₂⁵
Fitting	C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	C₂
hypercenter	C₂×H(5,𝔽₂)	D₃
hypocenter	C₃	#3488
LCS	G ▷ C₂²×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×H(5,𝔽₂)

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	C₂	semidirect
2. C₂×D₃×#41	C₂	semidirect
3. #5834	C₂	semidirect
4. #5833	C₂	semidirect
5. #5831	C₂	semidirect
6. #5828	C₂	semidirect
7. #5827	C₂	semidirect
8. #5806	C₂	semidirect
9. #5805	C₂	semidirect
10. D₄×#67	C₂	semidirect
11. C₂×#938	C₂	semidirect
15. C₂×C₃×#41	C₂²	semidirect
16. C₂×C₃×#41	C₂²	semidirect
17. C₂²×C₃×D₄	C₂²	semidirect
18. C₂²×C₃×D₄	C₂²	semidirect
19. C₂²×#67	C₂²	semidirect
21. C₂×#239	C₂²	semidirect
22. C₂×D₃×Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×#237	C₂²	semidirect
24. C₂×D₃×D₄	C₂²	semidirect
25. C₂×#235	C₂²	semidirect
26. C₂²×C₄×D₃	C₂²	semidirect
27. #953	C₂²	semidirect
28. C₂×#217	C₂²	semidirect
29. #946	C₂²	semidirect
30. #946	C₂²	semidirect
31. Q₈×Dic₃	C₂²	semidirect
32. #940	C₂²	semidirect
33. #939	C₂²	semidirect
34. #938	C₂²	semidirect
35. #938	C₂²	semidirect
36. #938	C₂²	semidirect
37. #938	C₂²	semidirect
38. #938	C₂²	semidirect
39. #937	C₂²	semidirect
40. #936	C₂²	semidirect
41. #935	C₂²	semidirect
42. D₄×Dic₃	C₂²	semidirect
43. #930	C₂²	semidirect
44. C₄×#67	C₂²	semidirect
45. C₄×#67	C₂²	semidirect
46. #926	C₂²	semidirect
47. C₂×C₄⋊Dic₃	C₂²	semidirect
48. #924	C₂²	semidirect
49. C₂×H(5,𝔽₂)	D₃	semidirect
64. C₃×#41	D₄	semidirect
112. C₂×#41	C₂×D₃	semidirect
113. C₂×#41	C₂×D₃	semidirect
117. C₂²×D₄	C₂×D₃	semidirect
118. C₂²×D₄	C₂×D₃	semidirect
153. C₃×Q₈	C₂×D₄	semidirect
157. C₃×D₄	C₂×D₄	semidirect
159. C₂×C₃×C₄	C₂×D₄	semidirect
186. #41	#67	semidirect
239. C₂×D₃	H(5,𝔽₂)	semidirect
259. Q₈	C₂×#67	semidirect
268. D₄	C₂×#67	semidirect
280. C₂×C₄	C₂×#67	semidirect
313. C₃	#3488	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	2
C₂×D₃×#41	2
#5834	2
#5833	2
#5831	2
#5828	2
#5827	2
#5806	2
#5805	2
D₄×#67	2
C₂×#938	2
#3488	3