Subgroups — #13136258

Order 1728.

424 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 292 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂₇×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₄×#6171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#11720173	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#11720146	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11720141	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11720137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11720136	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#11720134	C₂	1	2	yes	maximal
9	#11720128	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#11720125	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×Dic₅₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#10589635	—	3	1	no	maximal
13	C₂²×C₄×C₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#6171	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×Dic₅₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×Dic₅₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄⋊C₄×C₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄⋊C₄×C₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²⋊C₄×C₂₇	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄²×C₂₇	C₂²	1	2	yes	—
22	#88372	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#88372	C₂²	1	2	yes	—
24	(C₂×D₂₇)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	(C₂×D₂₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	(C₂×D₂₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄⋊Dic₂₇	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄⋊Dic₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	Dic₂₇⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	Dic₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	Dic₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	Dic₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×Dic₂₇	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×Dic₂₇	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×Dic₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₉×#117	D₃	1	1	yes	characteristic
37	C₄×#611	—	3	1	no	—
38	#63486	—	3	1	no	—
39	#63459	—	3	1	no	—
40	#63454	—	3	1	no	—
41	#63450	—	3	1	no	—
42	#63449	—	3	1	no	—
43	#63447	—	3	2	no	—
44	#63441	—	3	2	no	—
45	#63438	—	3	2	no	—
46	C₄×Dic₁₈	—	3	2	no	—
47	C₂³×C₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×C₂₇	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#6171	—	2	2	no	—
55	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₄×D₂₇	—	2	2	no	—
61	Dic₅₄	—	2	2	no	—
62	Dic₅₄	—	2	4	no	—
63	#5533	—	9	1	no	—
64	C₂²×C₄×C₉	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#611	—	3	1	no	—
66	C₂×C₄×D₉	—	3	1	no	—
67	C₂×Dic₁₈	—	3	2	no	—
68	C₂×Dic₁₈	—	3	1	no	—
69	C₉×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
70	C₉×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
71	C₉×C₂²⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
72	C₄²×C₉	C₂×D₃	1	2	yes	—
73	#3676	—	3	1	no	—
74	#3676	—	3	2	no	—
75	(C₂×D₉)⋊C₄	—	3	1	no	—
76	(C₂×D₉)⋊C₄	—	3	2	no	—
77	(C₂×D₉)⋊C₄	—	3	2	no	—
78	C₄⋊Dic₉	—	3	2	no	—
79	C₄⋊Dic₉	—	3	1	no	—
80	Dic₉⋊C₄	—	3	1	no	—
81	Dic₉⋊C₄	—	3	2	no	—
82	Dic₉⋊C₄	—	3	2	no	—
83	Dic₉⋊C₄	—	3	2	no	—
84	C₄×Dic₉	—	3	1	no	—
85	C₄×Dic₉	—	3	2	no	—
86	C₄×Dic₉	—	3	2	no	—
87	C₂²×C₂₇	—	2	1	no	—
88	C₂²×C₂₇	—	2	1	no	—
89	C₂²×C₂₇	—	2	1	no	—
90	C₂²×C₂₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂×D₂₇	—	2	1	no	—
92	C₂×D₂₇	—	2	1	no	—
93	C₂×D₂₇	—	2	1	no	—
94	C₄×C₂₇	—	2	2	no	—
95	C₄×C₂₇	—	2	1	no	—
96	C₄×C₂₇	—	2	2	no	—
97	C₄×C₂₇	#41	1	2	yes	—
98	Dic₂₇	—	2	2	no	—
99	Dic₂₇	—	2	2	no	—
100	Dic₂₇	—	2	1	no	—
101	Dic₂₇	—	2	1	no	—
102	Dic₂₇	#41	1	2	yes	—
103	C₃×#117	D₉	1	1	yes	characteristic
104	C₄×#67	—	9	1	no	—
105	#924	—	9	1	no	—
106	#897	—	9	1	no	—
107	#892	—	9	1	no	—
108	#888	—	9	1	no	—
109	#887	—	9	1	no	—
110	#885	—	9	2	no	—
111	#879	—	9	2	no	—
112	#876	—	9	2	no	—
113	C₄×Dic₆	—	9	2	no	—
114	C₂³×C₉	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×D₉	—	3	1	no	—
116	C₂×C₄×C₉	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
121	#611	—	6	2	no	—
122	C₂×Dic₉	—	3	1	no	—
123	C₂×Dic₉	—	3	1	no	—
124	C₂×Dic₉	—	3	1	no	—
125	C₂×Dic₉	—	3	2	no	—
126	C₂×Dic₉	—	3	2	no	—
127	C₄×D₉	—	6	2	no	—
128	Dic₁₈	—	6	4	no	—
129	Dic₁₈	—	6	2	no	—
130	#556	—	27	1	no	Sylow
131	C₂×C₂₇	—	4	1	no	—
132	C₂×C₂₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₂₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₂₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
135	D₂₇	—	4	1	no	—
136	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₉	1	1	yes	characteristic
137	C₂×#67	—	9	1	no	—
138	C₂×C₄×D₃	—	9	1	no	—
139	C₂×Dic₆	—	9	2	no	—
140	C₂×Dic₆	—	9	1	no	—
141	C₃×C₄⋊C₄	C₂×D₉	1	1	yes	characteristic
142	C₃×C₄⋊C₄	C₂×D₉	1	1	yes	characteristic
143	C₃×C₂²⋊C₄	C₂×D₉	1	2	yes	—
144	C₃×C₄²	C₂×D₉	1	2	yes	—
145	#217	—	9	1	no	—
146	#217	—	9	2	no	—
147	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	1	no	—
148	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	2	no	—
149	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	2	no	—
150	C₄⋊Dic₃	—	9	2	no	—
151	C₄⋊Dic₃	—	9	1	no	—
152	Dic₃⋊C₄	—	9	1	no	—
153	Dic₃⋊C₄	—	9	2	no	—
154	Dic₃⋊C₄	—	9	2	no	—
155	Dic₃⋊C₄	—	9	2	no	—
156	C₄×Dic₃	—	9	2	no	—
157	C₄×Dic₃	—	9	2	no	—
158	C₄×Dic₃	—	9	1	no	—
159	C₂²×C₉	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₉	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₉	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₉	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
163	C₂×D₉	—	6	1	no	—
164	C₂×D₉	—	6	1	no	—
165	C₂×D₉	—	6	1	no	—
166	C₄×C₉	—	2	1	no	—
167	C₄×C₉	—	2	2	no	—
168	C₄×C₉	—	2	2	no	—
169	C₄×C₉	#235	1	2	yes	—
170	Dic₉	—	3	2	no	—
171	Dic₉	—	6	2	no	—
172	Dic₉	—	6	1	no	—
173	Dic₉	—	6	2	no	—
174	Dic₉	—	6	1	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	27	1	no	—
176	#126	—	27	2	no	—
177	#126	—	27	2	no	—
178	#124	—	27	2	no	—
179	C₂²⋊Q₈	—	27	1	no	—
180	C₂²⋊Q₈	—	27	1	no	—
181	C₄×Q₈	—	27	1	no	—
182	C₄×Q₈	—	27	2	no	—
183	C₄×D₄	—	27	1	no	—
184	#117	—	27	1	no	—
185	#117	D₂₇	1	1	yes	characteristic, complemented
186	C₂₇	#556	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
187	C₂³×C₃	C₂²×D₉	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×D₃	—	9	1	no	—
189	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	2	yes	—
191	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	2	yes	—
193	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	1	yes	characteristic
194	#67	—	18	2	no	—
195	C₂×Dic₃	—	9	1	no	—
196	C₂×Dic₃	—	9	1	no	—
197	C₂×Dic₃	—	9	1	no	—
198	C₂×Dic₃	—	9	2	no	—
199	C₂×Dic₃	—	9	2	no	—
200	C₄×D₃	—	18	2	no	—
201	Dic₆	—	18	4	no	—
202	Dic₆	—	18	2	no	—
203	C₂×C₉	—	4	1	no	—
204	C₂×C₉	C₂×#235	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₉	D₃×#41	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₉	#1010	1	1	yes	characteristic
207	D₉	—	12	1	no	—
208	C₂×Q₈	—	27	1	no	—
209	C₂×Q₈	—	27	2	no	—
210	C₂×D₄	—	27	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	27	1	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₂₇	1	1	yes	characteristic
213	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
214	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
215	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
216	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
219	C₄⋊C₄	C₂×D₂₇	1	1	yes	characteristic
220	C₄⋊C₄	C₂×D₂₇	1	1	yes	characteristic
221	C₂²⋊C₄	—	27	1	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	27	1	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
226	C₂²⋊C₄	C₂×D₂₇	1	2	yes	—
227	C₄²	—	27	2	no	—
228	C₄²	—	27	1	no	—
229	C₄²	—	27	2	no	—
230	C₄²	C₂×D₂₇	1	2	yes	—
231	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
232	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₃	C₂³×D₉	1	1	yes	characteristic
235	C₂×D₃	—	18	1	no	—
236	C₂×D₃	—	18	1	no	—
237	C₂×D₃	—	18	1	no	—
238	C₃×C₄	—	2	1	no	—
239	C₃×C₄	—	2	2	no	—
240	C₃×C₄	—	2	2	no	—
241	C₃×C₄	#3697	1	2	yes	—
242	Dic₃	—	9	2	no	—
243	Dic₃	—	18	2	no	—
244	Dic₃	—	18	1	no	—
245	Dic₃	—	18	2	no	—
246	Dic₃	—	18	1	no	—
247	C₉	#5533	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	—	27	1	no	—
249	C₂³	C₂²×D₂₇	1	1	yes	characteristic
250	Q₈	—	54	4	no	—
251	Q₈	—	54	2	no	—
252	D₄	—	54	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	27	1	no	—
255	C₂×C₄	—	27	1	no	—
256	C₂×C₄	—	27	1	no	—
257	C₂×C₄	—	27	2	no	—
258	C₂×C₄	—	27	2	no	—
259	C₂×C₄	—	54	2	no	—
260	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₃	—	4	1	no	—
265	C₂×C₃	C₂×#3697	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₃	#41×D₉	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₃	#63716	1	1	yes	characteristic
268	D₃	—	36	1	no	—
269	C₂²	—	2	1	no	—
270	C₂²	—	2	1	no	—
271	C₂²	—	2	1	no	—
272	C₂²	—	54	1	no	—
273	C₂²	—	54	1	no	—
274	C₂²	—	54	1	no	—
275	C₂²	C₂³×D₂₇	1	1	yes	characteristic
276	C₄	—	2	1	no	—
277	C₄	—	2	2	no	—
278	C₄	—	2	2	no	—
279	C₄	—	27	2	no	—
280	C₄	—	54	1	no	—
281	C₄	—	54	2	no	—
282	C₄	—	54	2	no	—
283	C₄	—	54	1	no	—
284	C₄	#88399	1	2	yes	—
285	C₃	#10589635	1	1	yes	characteristic
286	C₂	—	4	1	no	—
287	C₂	—	108	1	no	—
288	C₂	C₂×#88399	1	1	yes	characteristic
289	C₂	#41×D₂₇	1	1	yes	characteristic
290	C₂	#11720676	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂³×D₂₇
commutator, cosocle	C₂²×C₂₇	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₉	C₂³×D₃
Fitting	C₂₇×#117	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂³×D₉
prime radical	C₂×#6171	C₂²
hypercenter	#117	D₂₇
hypocenter	C₂₇	#556
LCS	G ▷ C₂²×C₂₇ ▷ C₂₇
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #117

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂₇×#117	C₂	semidirect
3. #11720173	C₂	semidirect
4. #11720146	C₂	semidirect
5. #11720141	C₂	semidirect
6. #11720137	C₂	semidirect
7. #11720136	C₂	semidirect
9. #11720128	C₂	semidirect
10. #11720125	C₂	semidirect
11. C₄×Dic₅₄	C₂	semidirect
185. #117	D₂₇	semidirect
186. C₂₇	#556	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂₇×#117	2
C₄×#6171	2
#11720173	2
#11720146	2
#11720141	2
#11720137	2
#11720136	2
#11720134	2
#11720128	2
#11720125	2
C₄×Dic₅₄	2
#10589635	3