Subgroups — #13136271

Order 1728.

476 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂₇×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#11720179	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#6171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#11720144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11720142	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₄⋊C₄×D₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11720139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#11720133	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#11720132	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#11720125	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×D₁₀₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#10589632	—	3	1	no	maximal
13	C₂²×C₄×C₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#6171	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#6171	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×D₁₀₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×D₁₀₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×D₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×D₂₇	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₂₇	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄⋊C₄×C₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄⋊C₄×C₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²⋊C₄×C₂₇	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄²×C₂₇	C₂²	1	2	yes	—
25	#88372	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	(C₂×D₂₇)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	(C₂×D₂₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	(C₂×D₂₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	(C₂×D₂₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄⋊Dic₂₇	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄⋊Dic₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	Dic₂₇⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	Dic₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	Dic₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×Dic₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₉×#117	D₃	1	1	yes	characteristic
37	#63492	—	3	1	no	—
38	C₄×#611	—	3	1	no	—
39	#63457	—	3	1	no	—
40	#63455	—	3	1	no	—
41	C₄⋊C₄×D₉	—	3	1	no	—
42	#63452	—	3	1	no	—
43	#63446	—	3	2	no	—
44	#63445	—	3	2	no	—
45	#63438	—	3	2	no	—
46	C₄×D₃₆	—	3	2	no	—
47	C₂³×C₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₂₇	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×D₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×C₂₇	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#6171	—	2	2	no	—
56	#6171	—	4	2	no	—
57	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	2	yes	—
61	D₁₀₈	—	2	4	no	—
62	D₁₀₈	—	2	2	no	—
63	C₄×D₂₇	—	2	2	no	—
64	C₄×D₂₇	—	4	2	no	—
65	C₄×D₂₇	—	4	2	no	—
66	#5530	—	9	1	no	—
67	C₂²×C₄×C₉	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#611	—	3	1	no	—
69	C₂×#611	—	3	2	no	—
70	C₂×D₃₆	—	3	1	no	—
71	C₂×D₃₆	—	3	2	no	—
72	C₂×C₄×D₉	—	3	1	no	—
73	C₂×C₄×D₉	—	3	2	no	—
74	C₂×C₄×D₉	—	3	2	no	—
75	C₉×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
76	C₉×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
77	C₉×C₂²⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
78	C₄²×C₉	C₂×D₃	1	2	yes	—
79	#3676	—	3	1	no	—
80	(C₂×D₉)⋊C₄	—	3	1	no	—
81	(C₂×D₉)⋊C₄	—	3	2	no	—
82	(C₂×D₉)⋊C₄	—	3	2	no	—
83	(C₂×D₉)⋊C₄	—	3	2	no	—
84	C₄⋊Dic₉	—	3	1	no	—
85	C₄⋊Dic₉	—	3	2	no	—
86	Dic₉⋊C₄	—	3	1	no	—
87	Dic₉⋊C₄	—	3	2	no	—
88	Dic₉⋊C₄	—	3	2	no	—
89	C₄×Dic₉	—	3	1	no	—
90	C₂²×C₂₇	—	2	1	no	—
91	C₂²×C₂₇	—	2	1	no	—
92	C₂²×C₂₇	—	2	1	no	—
93	C₂²×C₂₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂×D₂₇	—	2	1	no	—
95	C₂×D₂₇	—	2	1	no	—
96	C₂×D₂₇	—	2	2	no	—
97	C₂×D₂₇	—	2	2	no	—
98	C₂×D₂₇	—	2	2	no	—
99	C₂×D₂₇	#41	1	2	yes	—
100	C₄×C₂₇	—	2	2	no	—
101	C₄×C₂₇	—	2	1	no	—
102	C₄×C₂₇	—	2	2	no	—
103	C₄×C₂₇	#41	1	2	yes	—
104	Dic₂₇	—	2	1	no	—
105	Dic₂₇	—	2	1	no	—
106	Dic₂₇	—	2	1	no	—
107	Dic₂₇	—	2	2	no	—
108	C₃×#117	D₉	1	1	yes	characteristic
109	#930	—	9	1	no	—
110	C₄×#67	—	9	1	no	—
111	#895	—	9	1	no	—
112	#893	—	9	1	no	—
113	D₃×C₄⋊C₄	—	9	1	no	—
114	#890	—	9	1	no	—
115	#884	—	9	2	no	—
116	#883	—	9	2	no	—
117	#876	—	9	2	no	—
118	C₄×D₁₂	—	9	2	no	—
119	C₂³×C₉	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₉	—	3	1	no	—
121	C₂²×D₉	—	3	2	no	—
122	C₂×C₄×C₉	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
127	#611	—	6	2	no	—
128	#611	—	12	2	no	—
129	C₂×Dic₉	—	3	1	no	—
130	C₂×Dic₉	—	3	1	no	—
131	C₂×Dic₉	—	3	1	no	—
132	C₂×Dic₉	—	3	2	no	—
133	D₃₆	—	6	4	no	—
134	D₃₆	—	6	2	no	—
135	C₄×D₉	—	6	2	no	—
136	C₄×D₉	—	12	2	no	—
137	C₄×D₉	—	12	2	no	—
138	#553	—	27	1	no	Sylow
139	C₂×C₂₇	—	4	1	no	—
140	C₂×C₂₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₂₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₂₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
143	D₂₇	—	2	2	no	—
144	D₂₇	—	4	2	no	—
145	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₉	1	1	yes	characteristic
146	C₂×#67	—	9	1	no	—
147	C₂×#67	—	9	2	no	—
148	C₂×D₁₂	—	9	2	no	—
149	C₂×D₁₂	—	9	1	no	—
150	C₂×C₄×D₃	—	9	1	no	—
151	C₂×C₄×D₃	—	9	2	no	—
152	C₂×C₄×D₃	—	9	2	no	—
153	C₃×C₄⋊C₄	C₂×D₉	1	1	yes	characteristic
154	C₃×C₄⋊C₄	C₂×D₉	1	1	yes	characteristic
155	C₃×C₂²⋊C₄	C₂×D₉	1	2	yes	—
156	C₃×C₄²	C₂×D₉	1	2	yes	—
157	#217	—	9	1	no	—
158	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	1	no	—
159	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	2	no	—
160	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	2	no	—
161	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	2	no	—
162	C₄⋊Dic₃	—	9	2	no	—
163	C₄⋊Dic₃	—	9	1	no	—
164	Dic₃⋊C₄	—	9	1	no	—
165	Dic₃⋊C₄	—	9	2	no	—
166	Dic₃⋊C₄	—	9	2	no	—
167	C₄×Dic₃	—	9	1	no	—
168	C₂²×C₉	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₉	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₉	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₉	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
172	C₂×D₉	—	3	2	no	—
173	C₂×D₉	—	6	1	no	—
174	C₂×D₉	—	6	1	no	—
175	C₂×D₉	—	6	2	no	—
176	C₂×D₉	—	6	2	no	—
177	C₂×D₉	—	6	2	no	—
178	C₄×C₉	—	2	1	no	—
179	C₄×C₉	—	2	2	no	—
180	C₄×C₉	—	2	2	no	—
181	C₄×C₉	#235	1	2	yes	—
182	Dic₉	—	6	1	no	—
183	Dic₉	—	6	1	no	—
184	Dic₉	—	6	1	no	—
185	Dic₉	—	6	2	no	—
186	#126	—	27	2	no	—
187	#125	—	27	1	no	—
188	#123	—	27	2	no	—
189	#121	—	27	1	no	—
190	#121	—	27	1	no	—
191	#121	—	27	2	no	—
192	C₄×D₄	—	27	1	no	—
193	C₄×D₄	—	27	1	no	—
194	C₄×D₄	—	27	2	no	—
195	#117	D₂₇	1	1	yes	characteristic, complemented
196	C₂×C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
197	C₂₇	#553	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
198	C₂³×C₃	C₂²×D₉	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×D₃	—	9	1	no	—
200	C₂²×D₃	—	9	2	no	—
201	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	2	yes	—
203	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	2	yes	—
205	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	1	yes	characteristic
206	#67	—	18	2	no	—
207	#67	—	36	2	no	—
208	C₂×Dic₃	—	9	1	no	—
209	C₂×Dic₃	—	9	1	no	—
210	C₂×Dic₃	—	9	1	no	—
211	C₂×Dic₃	—	9	2	no	—
212	D₁₂	—	18	4	no	—
213	D₁₂	—	18	2	no	—
214	C₄×D₃	—	18	2	no	—
215	C₄×D₃	—	36	2	no	—
216	C₄×D₃	—	36	2	no	—
217	C₂×C₉	—	4	1	no	—
218	C₂×C₉	C₂×#235	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₉	D₃×#41	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₉	#1009	1	1	yes	characteristic
221	D₉	—	6	2	no	—
222	D₉	—	12	2	no	—
223	C₂×D₄	—	27	1	no	—
224	C₂×D₄	—	27	2	no	—
225	C₂×D₄	—	27	2	no	—
226	C₂×D₄	—	27	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	27	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	27	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	27	2	no	—
230	C₂²×C₄	C₂×D₂₇	1	1	yes	characteristic
231	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
232	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
235	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
236	C₄⋊C₄	C₂×D₂₇	1	1	yes	characteristic
237	C₄⋊C₄	C₂×D₂₇	1	1	yes	characteristic
238	C₂²⋊C₄	—	27	1	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	27	1	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
243	C₂²⋊C₄	C₂×D₂₇	1	2	yes	—
244	C₄²	—	27	1	no	—
245	C₄²	C₂×D₂₇	1	2	yes	—
246	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₃	C₂³×D₉	1	1	yes	characteristic
250	C₂×D₃	—	9	2	no	—
251	C₂×D₃	—	18	1	no	—
252	C₂×D₃	—	18	1	no	—
253	C₂×D₃	—	18	2	no	—
254	C₂×D₃	—	18	2	no	—
255	C₂×D₃	—	18	2	no	—
256	C₃×C₄	—	2	1	no	—
257	C₃×C₄	—	2	2	no	—
258	C₃×C₄	—	2	2	no	—
259	C₃×C₄	#3697	1	2	yes	—
260	Dic₃	—	18	1	no	—
261	Dic₃	—	18	1	no	—
262	Dic₃	—	18	1	no	—
263	Dic₃	—	18	2	no	—
264	C₉	#5530	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	—	27	1	no	—
266	C₂³	—	27	2	no	—
267	C₂³	C₂²×D₂₇	1	1	yes	characteristic
268	D₄	—	54	4	no	—
269	D₄	—	54	2	no	—
270	D₄	—	54	2	no	—
271	D₄	—	108	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	27	1	no	—
274	C₂×C₄	—	27	1	no	—
275	C₂×C₄	—	27	1	no	—
276	C₂×C₄	—	27	2	no	—
277	C₂×C₄	—	54	2	no	—
278	C₂×C₄	—	108	2	no	—
279	C₂×C₄	—	108	2	no	—
280	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₃	—	4	1	no	—
285	C₂×C₃	C₂×#3697	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₃	#41×D₉	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₃	#63715	1	1	yes	characteristic
288	D₃	—	18	2	no	—
289	D₃	—	36	2	no	—
290	C₂²	—	2	1	no	—
291	C₂²	—	2	1	no	—
292	C₂²	—	2	1	no	—
293	C₂²	—	27	2	no	—
294	C₂²	—	54	1	no	—
295	C₂²	—	54	1	no	—
296	C₂²	—	54	2	no	—
297	C₂²	—	54	2	no	—
298	C₂²	—	54	2	no	—
299	C₂²	C₂³×D₂₇	1	1	yes	characteristic
300	C₄	—	2	1	no	—
301	C₄	—	2	2	no	—
302	C₄	—	2	2	no	—
303	C₄	—	54	1	no	—
304	C₄	—	54	1	no	—
305	C₄	—	54	1	no	—
306	C₄	—	54	2	no	—
307	C₄	#88399	1	2	yes	—
308	C₃	#10589632	1	1	yes	characteristic
309	C₂	—	4	1	no	—
310	C₂	—	54	2	no	—
311	C₂	—	108	2	no	—
312	C₂	C₂×#88399	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#41×D₂₇	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#11720675	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂³×D₂₇
commutator, cosocle	C₂²×C₂₇	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₉	C₂³×D₃
Fitting	C₂₇×#117	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂³×D₉
hypercenter	#117	D₂₇
hypocenter	C₂₇	#553
LCS	G ▷ C₂²×C₂₇ ▷ C₂₇
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #117

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂₇×#117	C₂	semidirect
2. #11720179	C₂	semidirect
3. C₄×#6171	C₂	semidirect
4. #11720144	C₂	semidirect
5. #11720142	C₂	semidirect
6. C₄⋊C₄×D₂₇	C₂	semidirect
7. #11720139	C₂	semidirect
8. #11720133	C₂	semidirect
9. #11720132	C₂	semidirect
10. #11720125	C₂	semidirect
11. C₄×D₁₀₈	C₂	semidirect
195. #117	D₂₇	semidirect
197. C₂₇	#553	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂₇×#117	2
#11720179	2
C₄×#6171	2
#11720144	2
#11720142	2
C₄⋊C₄×D₂₇	2
#11720139	2
#11720133	2
#11720132	2
#11720125	2
C₄×D₁₀₈	2
#10589632	3