Subgroups — #13136406

Order 1728.

580 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×D₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#88401	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂₇×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#11720195	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11720187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11720134	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11720133	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#6171⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#11720127	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×D₁₀₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×Dic₅₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#10589779	—	3	1	no	maximal
13	C₂×Q₈×C₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×D₄×C₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#6171	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#6171	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×Dic₂₇	C₂²	1	2	yes	—
18	Q₈×D₂₇	—	2	4	no	—
19	#88401	—	2	4	no	—
20	C₂×D₁₀₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×D₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×D₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×D₂₇	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×Dic₅₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×Dic₅₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²⋊C₄×C₂₇	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²⋊C₄×C₂₇	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄²×C₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#88372	C₂²	1	2	yes	—
30	(C₂×D₂₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	(C₂×D₂₇)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	(C₂×D₂₇)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄⋊Dic₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄⋊Dic₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	Dic₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	Dic₂₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄×Dic₂₇	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×Q₈×D₉	—	3	1	no	—
39	C₂×#3699	—	3	1	no	—
40	C₉×#124	D₃	1	1	yes	characteristic
41	#63508	—	3	1	no	—
42	#63500	—	3	1	no	—
43	#63447	—	3	2	no	—
44	#63446	—	3	2	no	—
45	#611⋊C₄	—	3	2	no	—
46	#63440	—	3	2	no	—
47	C₄×D₃₆	—	3	1	no	—
48	C₄×Dic₁₈	—	3	1	no	—
49	C₂³×C₂₇	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×D₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×D₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	Q₈×C₂₇	—	2	2	no	—
53	D₄×C₂₇	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#6171	—	2	4	no	—
59	#6171	—	2	4	no	—
60	C₂×Dic₂₇	—	2	4	no	—
61	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	2	yes	—
65	D₁₀₈	—	2	2	no	—
66	C₄×D₂₇	—	2	2	no	—
67	C₄×D₂₇	—	2	2	no	—
68	C₄×D₂₇	—	2	4	no	—
69	Dic₅₄	—	2	4	no	—
70	Dic₅₄	D₄	1	4	yes	complemented
71	#5677	—	9	1	no	—
72	C₂×Q₈×C₉	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
73	C₂×D₄×C₉	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#611	—	3	2	no	—
75	C₂×#611	—	3	2	no	—
76	C₂²×Dic₉	—	3	2	no	—
77	Q₈×D₉	—	6	4	no	—
78	#3699	—	6	4	no	—
79	C₂×D₃₆	—	3	1	no	—
80	C₂×C₄×D₉	—	3	1	no	—
81	C₂×C₄×D₉	—	3	1	no	—
82	C₂×C₄×D₉	—	3	2	no	—
83	C₂×Dic₁₈	—	3	1	no	—
84	C₂×Dic₁₈	—	3	2	no	—
85	C₉×C₂²⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
86	C₉×C₂²⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
87	C₄²×C₉	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
88	#3676	—	3	2	no	—
89	(C₂×D₉)⋊C₄	—	3	2	no	—
90	(C₂×D₉)⋊C₄	—	3	1	no	—
91	(C₂×D₉)⋊C₄	—	3	1	no	—
92	C₄⋊Dic₉	—	3	1	no	—
93	C₄⋊Dic₉	—	3	1	no	—
94	Dic₉⋊C₄	—	3	2	no	—
95	Dic₉⋊C₄	—	3	2	no	—
96	C₄×Dic₉	—	3	2	no	—
97	C₂²×C₂₇	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₂₇	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₂₇	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₂₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂×D₂₇	—	2	1	no	—
102	C₂×D₂₇	—	2	1	no	—
103	C₂×D₂₇	—	2	1	no	—
104	C₂×D₂₇	—	2	1	no	—
105	C₂×D₂₇	—	2	1	no	—
106	C₂×D₂₇	#41	1	2	yes	complemented
107	C₄×C₂₇	—	2	2	no	—
108	C₄×C₂₇	—	2	1	no	—
109	C₄×C₂₇	—	2	1	no	—
110	C₄×C₂₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	Dic₂₇	—	2	1	no	—
112	Dic₂₇	—	2	1	no	—
113	Dic₂₇	—	2	2	no	—
114	Dic₂₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂×D₃×Q₈	—	9	1	no	—
116	C₂×#237	—	9	1	no	—
117	C₃×#124	D₉	1	1	yes	characteristic
118	#946	—	9	1	no	—
119	#938	—	9	1	no	—
120	#885	—	9	2	no	—
121	#884	—	9	2	no	—
122	#67⋊C₄	—	9	2	no	—
123	#878	—	9	2	no	—
124	C₄×D₁₂	—	9	1	no	—
125	C₄×Dic₆	—	9	1	no	—
126	C₂³×C₉	C₂²×D₃	1	2	yes	—
127	C₂²×D₉	—	3	1	no	—
128	C₂²×D₉	—	3	1	no	—
129	Q₈×C₉	—	2	2	no	—
130	D₄×C₉	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
135	#611	—	6	4	no	—
136	#611	—	6	4	no	—
137	C₂×Dic₉	—	3	2	no	—
138	C₂×Dic₉	—	3	2	no	—
139	C₂×Dic₉	—	3	1	no	—
140	C₂×Dic₉	—	3	1	no	—
141	C₂×Dic₉	—	6	4	no	—
142	D₃₆	—	6	2	no	—
143	C₄×D₉	—	6	4	no	—
144	C₄×D₉	—	6	2	no	—
145	C₄×D₉	—	6	2	no	—
146	Dic₁₈	—	3	4	no	—
147	Dic₁₈	—	6	4	no	—
148	#548	—	27	1	no	Sylow
149	C₂×C₂₇	—	4	2	no	—
150	C₂×C₂₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₂₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₂₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
153	D₂₇	—	2	2	no	—
154	D₂₇	—	4	1	no	—
155	C₂×C₃×Q₈	C₂×D₉	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₃×D₄	C₂×D₉	1	1	yes	characteristic
157	C₂×#67	—	9	2	no	—
158	C₂×#67	—	9	2	no	—
159	C₂²×Dic₃	—	9	2	no	—
160	D₃×Q₈	—	18	4	no	—
161	#237	—	18	4	no	—
162	C₂×D₁₂	—	9	1	no	—
163	C₂×C₄×D₃	—	9	1	no	—
164	C₂×C₄×D₃	—	9	1	no	—
165	C₂×C₄×D₃	—	9	2	no	—
166	C₂×Dic₆	—	9	1	no	—
167	C₂×Dic₆	—	9	2	no	—
168	C₃×C₂²⋊C₄	C₂×D₉	1	2	yes	—
169	C₃×C₂²⋊C₄	C₂×D₉	1	2	yes	—
170	C₃×C₄²	C₂×D₉	1	1	yes	characteristic
171	#217	—	9	2	no	—
172	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	1	no	—
173	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	1	no	—
174	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	2	no	—
175	C₄⋊Dic₃	—	9	1	no	—
176	C₄⋊Dic₃	—	9	1	no	—
177	Dic₃⋊C₄	—	9	2	no	—
178	Dic₃⋊C₄	—	9	2	no	—
179	C₄×Dic₃	—	9	2	no	—
180	C₂²×C₉	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₉	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₉	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₉	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
184	C₂×D₉	—	3	2	no	—
185	C₂×D₉	—	6	1	no	—
186	C₂×D₉	—	6	1	no	—
187	C₂×D₉	—	6	1	no	—
188	C₂×D₉	—	6	1	no	—
189	C₂×D₉	—	6	1	no	—
190	C₄×C₉	—	2	2	no	—
191	C₄×C₉	—	2	1	no	—
192	C₄×C₉	—	2	1	no	—
193	C₄×C₉	D₃×D₄	1	2	yes	—
194	Dic₉	—	3	4	no	—
195	Dic₉	—	6	1	no	—
196	Dic₉	—	6	1	no	—
197	Dic₉	—	6	2	no	—
198	C₂×#41	—	27	1	no	—
199	C₂²×Q₈	—	27	1	no	—
200	#124	—	27	2	no	—
201	#124	D₂₇	1	1	yes	characteristic, complemented
202	C₂²⋊Q₈	—	27	1	no	—
203	C₂²⋊Q₈	—	27	2	no	—
204	#121	—	27	1	no	—
205	#121	—	27	2	no	—
206	C₄×Q₈	—	27	1	no	—
207	C₄×D₄	—	27	2	no	—
208	C₄×D₄	—	27	1	no	—
209	C₂₇	#548	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
210	C₂³×C₃	C₂²×D₉	1	2	yes	—
211	C₂²×D₃	—	9	1	no	—
212	C₂²×D₃	—	9	1	no	—
213	C₃×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₃×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	2	yes	—
218	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	1	yes	characteristic
219	#67	—	18	4	no	—
220	#67	—	18	4	no	—
221	C₂×Dic₃	—	9	2	no	—
222	C₂×Dic₃	—	9	2	no	—
223	C₂×Dic₃	—	9	1	no	—
224	C₂×Dic₃	—	9	1	no	—
225	C₂×Dic₃	—	18	4	no	—
226	D₁₂	—	18	2	no	—
227	C₄×D₃	—	18	4	no	—
228	C₄×D₃	—	18	2	no	—
229	C₄×D₃	—	18	2	no	—
230	Dic₆	—	9	4	no	—
231	Dic₆	—	18	4	no	—
232	C₂×C₉	—	4	2	no	—
233	C₂×C₉	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₉	D₃×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₉	#1010	1	1	yes	characteristic
236	D₉	—	6	2	no	—
237	D₉	—	12	1	no	—
238	#41	—	54	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	27	1	no	—
240	C₂×Q₈	—	27	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	54	4	no	—
242	C₂×Q₈	C₂×D₂₇	1	1	yes	characteristic
243	C₂×D₄	—	27	2	no	—
244	C₂×D₄	—	27	2	no	—
245	C₂×D₄	—	27	1	no	—
246	C₂×D₄	C₂×D₂₇	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	—	27	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	27	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	27	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	27	1	no	—
251	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
253	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	27	1	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	27	1	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	C₂×D₂₇	1	2	yes	—
260	C₂²⋊C₄	C₂×D₂₇	1	2	yes	—
261	C₄²	—	27	2	no	—
262	C₄²	C₂×D₂₇	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₃	C₂³×D₉	1	1	yes	characteristic
267	C₂×D₃	—	9	2	no	—
268	C₂×D₃	—	18	1	no	—
269	C₂×D₃	—	18	1	no	—
270	C₂×D₃	—	18	1	no	—
271	C₂×D₃	—	18	1	no	—
272	C₂×D₃	—	18	1	no	—
273	C₃×C₄	—	2	2	no	—
274	C₃×C₄	—	2	1	no	—
275	C₃×C₄	—	2	1	no	—
276	C₃×C₄	D₄×D₉	1	2	yes	—
277	Dic₃	—	9	4	no	—
278	Dic₃	—	18	1	no	—
279	Dic₃	—	18	1	no	—
280	Dic₃	—	18	2	no	—
281	C₉	#5677	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	—	27	1	no	—
283	C₂³	—	27	1	no	—
284	C₂³	C₂²×D₂₇	1	2	yes	—
285	Q₈	—	2	2	no	—
286	Q₈	—	27	4	no	—
287	Q₈	—	54	4	no	—
288	D₄	—	2	2	no	—
289	D₄	—	54	2	no	—
290	D₄	—	54	4	no	—
291	D₄	—	54	4	no	—
292	C₂×C₄	—	27	2	no	—
293	C₂×C₄	—	27	2	no	—
294	C₂×C₄	—	27	1	no	—
295	C₂×C₄	—	27	1	no	—
296	C₂×C₄	—	54	4	no	—
297	C₂×C₄	—	54	4	no	—
298	C₂×C₄	—	54	2	no	—
299	C₂×C₄	—	54	2	no	—
300	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₃	—	4	2	no	—
305	C₂×C₃	C₂×D₄×D₉	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₃	#41×D₉	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₃	#63716	1	1	yes	characteristic
308	D₃	—	18	2	no	—
309	D₃	—	36	1	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	27	2	no	—
314	C₂²	—	54	1	no	—
315	C₂²	—	54	1	no	—
316	C₂²	—	54	1	no	—
317	C₂²	—	54	1	no	—
318	C₂²	—	54	1	no	—
319	C₂²	C₂³×D₂₇	1	1	yes	characteristic
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	2	1	no	—
322	C₄	—	2	1	no	—
323	C₄	—	27	4	no	—
324	C₄	—	54	1	no	—
325	C₄	—	54	1	no	—
326	C₄	—	54	2	no	—
327	C₄	D₄×D₂₇	1	2	yes	—
328	C₃	#10589779	1	1	yes	characteristic
329	C₂	—	4	2	no	—
330	C₂	—	54	2	no	—
331	C₂	—	108	1	no	—
332	C₂	C₂×D₄×D₂₇	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#41×D₂₇	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#11720676	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂³×D₂₇
commutator, cosocle	C₂²×C₂₇	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₉	C₂³×D₃
Fitting	C₂₇×#124	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂³×D₉
hypercenter	#124	D₂₇
hypocenter	C₂₇	#548
LCS	G ▷ C₂²×C₂₇ ▷ C₂₇
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #124

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈×D₂₇	C₂	semidirect
2. C₂×#88401	C₂	semidirect
3. C₂₇×#124	C₂	semidirect
4. #11720195	C₂	semidirect
5. #11720187	C₂	semidirect
6. #11720134	C₂	semidirect
7. #11720133	C₂	semidirect
8. #6171⋊C₄	C₂	semidirect
9. #11720127	C₂	semidirect
10. C₄×D₁₀₈	C₂	semidirect
11. C₄×Dic₅₄	C₂	semidirect
70. Dic₅₄	D₄	semidirect
106. C₂×D₂₇	#41	semidirect
201. #124	D₂₇	semidirect
209. C₂₇	#548	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×D₂₇	2
C₂×#88401	2
C₂₇×#124	2
#11720195	2
#11720187	2
#11720134	2
#11720133	2
#6171⋊C₄	2
#11720127	2
C₄×D₁₀₈	2
C₄×Dic₅₄	2
#10589779	3