Subgroups — #13136410

Order 1728.

472 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂₇×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#11720196	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	Q₈×Dic₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#11720189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	D₄×Dic₂₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11720135	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11720134	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11720132	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#6171⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×D₁₀₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×Dic₅₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#10589783	—	3	1	no	maximal
13	C₂×Q₈×C₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×D₄×C₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#6171	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#6171	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×Dic₂₇	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×D₁₀₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×D₂₇	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×Dic₅₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²⋊C₄×C₂₇	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²⋊C₄×C₂₇	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄²×C₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#88372	C₂²	1	2	yes	—
25	(C₂×D₂₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	(C₂×D₂₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	(C₂×D₂₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄⋊Dic₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄⋊Dic₂₇	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄⋊Dic₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	Dic₂₇⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	Dic₂₇⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×Dic₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×Dic₂₇	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×Dic₂₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₉×#124	D₃	1	1	yes	characteristic
37	#63509	—	3	1	no	—
38	Q₈×Dic₉	—	3	1	no	—
39	#63502	—	3	1	no	—
40	D₄×Dic₉	—	3	1	no	—
41	#63448	—	3	2	no	—
42	#63447	—	3	2	no	—
43	#63445	—	3	2	no	—
44	#611⋊C₄	—	3	2	no	—
45	C₄×D₃₆	—	3	1	no	—
46	C₄×Dic₁₈	—	3	1	no	—
47	C₂³×C₂₇	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×D₂₇	C₂³	1	2	yes	—
49	Q₈×C₂₇	—	2	2	no	—
50	D₄×C₂₇	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×C₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#6171	—	2	4	no	—
56	#6171	—	4	2	no	—
57	C₂×Dic₂₇	—	4	2	no	—
58	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×Dic₂₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	D₁₀₈	—	2	2	no	—
64	C₄×D₂₇	—	4	2	no	—
65	Dic₅₄	—	2	2	no	—
66	#5681	—	9	1	no	—
67	C₂×Q₈×C₉	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
68	C₂×D₄×C₉	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#611	—	3	2	no	—
70	C₂×#611	—	3	2	no	—
71	C₂²×Dic₉	—	3	2	no	—
72	C₂×D₃₆	—	3	1	no	—
73	C₂×C₄×D₉	—	3	2	no	—
74	C₂×Dic₁₈	—	3	1	no	—
75	C₉×C₂²⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
76	C₉×C₂²⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
77	C₄²×C₉	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
78	#3676	—	3	2	no	—
79	(C₂×D₉)⋊C₄	—	3	2	no	—
80	(C₂×D₉)⋊C₄	—	3	2	no	—
81	(C₂×D₉)⋊C₄	—	3	2	no	—
82	C₄⋊Dic₉	—	3	1	no	—
83	C₄⋊Dic₉	—	3	2	no	—
84	C₄⋊Dic₉	—	3	1	no	—
85	Dic₉⋊C₄	—	3	1	no	—
86	Dic₉⋊C₄	—	3	1	no	—
87	C₄×Dic₉	—	3	1	no	—
88	C₄×Dic₉	—	3	1	no	—
89	C₄×Dic₉	—	3	2	no	—
90	C₂²×C₂₇	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₂₇	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₂₇	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₂₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂×D₂₇	—	2	2	no	—
95	C₂×D₂₇	—	2	2	no	—
96	C₂×D₂₇	—	2	2	no	—
97	C₄×C₂₇	—	2	1	no	—
98	C₄×C₂₇	—	2	2	no	—
99	C₄×C₂₇	—	2	1	no	—
100	C₄×C₂₇	#41	1	2	yes	—
101	Dic₂₇	—	2	1	no	—
102	Dic₂₇	—	2	2	no	—
103	Dic₂₇	—	2	1	no	—
104	Dic₂₇	—	2	1	no	—
105	Dic₂₇	#41	1	2	yes	—
106	C₃×#124	D₉	1	1	yes	characteristic
107	#947	—	9	1	no	—
108	Q₈×Dic₃	—	9	1	no	—
109	#940	—	9	1	no	—
110	D₄×Dic₃	—	9	1	no	—
111	#886	—	9	2	no	—
112	#885	—	9	2	no	—
113	#883	—	9	2	no	—
114	#67⋊C₄	—	9	2	no	—
115	C₄×D₁₂	—	9	1	no	—
116	C₄×Dic₆	—	9	1	no	—
117	C₂³×C₉	C₂²×D₃	1	2	yes	—
118	C₂²×D₉	—	3	2	no	—
119	Q₈×C₉	—	2	2	no	—
120	D₄×C₉	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₉	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
125	#611	—	6	4	no	—
126	#611	—	12	2	no	—
127	C₂×Dic₉	—	3	1	no	—
128	C₂×Dic₉	—	3	1	no	—
129	C₂×Dic₉	—	3	1	no	—
130	C₂×Dic₉	—	3	1	no	—
131	C₂×Dic₉	—	3	2	no	—
132	C₂×Dic₉	—	12	2	no	—
133	D₃₆	—	6	2	no	—
134	C₄×D₉	—	12	2	no	—
135	Dic₁₈	—	6	2	no	—
136	#559	—	27	1	no	Sylow
137	C₂×C₂₇	—	4	2	no	—
138	C₂×C₂₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₂₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₂₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
141	D₂₇	—	4	2	no	—
142	C₂×C₃×Q₈	C₂×D₉	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₃×D₄	C₂×D₉	1	1	yes	characteristic
144	C₂×#67	—	9	2	no	—
145	C₂×#67	—	9	2	no	—
146	C₂²×Dic₃	—	9	2	no	—
147	C₂×D₁₂	—	9	1	no	—
148	C₂×C₄×D₃	—	9	2	no	—
149	C₂×Dic₆	—	9	1	no	—
150	C₃×C₂²⋊C₄	C₂×D₉	1	2	yes	—
151	C₃×C₂²⋊C₄	C₂×D₉	1	2	yes	—
152	C₃×C₄²	C₂×D₉	1	1	yes	characteristic
153	#217	—	9	2	no	—
154	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	2	no	—
155	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	2	no	—
156	(C₂×D₃)⋊C₄	—	9	2	no	—
157	C₄⋊Dic₃	—	9	1	no	—
158	C₄⋊Dic₃	—	9	1	no	—
159	C₄⋊Dic₃	—	9	2	no	—
160	Dic₃⋊C₄	—	9	1	no	—
161	Dic₃⋊C₄	—	9	1	no	—
162	C₄×Dic₃	—	9	1	no	—
163	C₄×Dic₃	—	9	1	no	—
164	C₄×Dic₃	—	9	2	no	—
165	C₂²×C₉	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₉	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₉	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₉	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
169	C₂×D₉	—	6	2	no	—
170	C₂×D₉	—	6	2	no	—
171	C₂×D₉	—	6	2	no	—
172	C₄×C₉	—	2	2	no	—
173	C₄×C₉	—	2	1	no	—
174	C₄×C₉	—	2	1	no	—
175	C₄×C₉	#237	1	2	yes	—
176	Dic₉	—	3	2	no	—
177	Dic₉	—	6	1	no	—
178	Dic₉	—	6	2	no	—
179	Dic₉	—	6	1	no	—
180	Dic₉	—	6	1	no	—
181	#127	—	27	1	no	—
182	#124	—	27	1	no	—
183	#124	—	27	2	no	—
184	#124	D₂₇	1	1	yes	characteristic, complemented
185	#123	—	27	2	no	—
186	#123	—	27	2	no	—
187	C₄×Q₈	—	27	1	no	—
188	C₄×Q₈	—	27	1	no	—
189	C₄×D₄	—	27	1	no	—
190	C₄×D₄	—	27	2	no	—
191	C₄×D₄	—	27	1	no	—
192	C₂₇	#559	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
193	C₂³×C₃	C₂²×D₉	1	2	yes	—
194	C₂²×D₃	—	9	2	no	—
195	C₃×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₃×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	2	yes	—
198	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₉	1	1	yes	characteristic
201	#67	—	18	4	no	—
202	#67	—	36	2	no	—
203	C₂×Dic₃	—	9	1	no	—
204	C₂×Dic₃	—	9	1	no	—
205	C₂×Dic₃	—	9	1	no	—
206	C₂×Dic₃	—	9	1	no	—
207	C₂×Dic₃	—	9	2	no	—
208	C₂×Dic₃	—	36	2	no	—
209	D₁₂	—	18	2	no	—
210	C₄×D₃	—	36	2	no	—
211	Dic₆	—	18	2	no	—
212	C₂×C₉	—	4	2	no	—
213	C₂×C₉	C₂×#237	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₉	D₃×#41	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₉	#1009	1	1	yes	characteristic
216	D₉	—	12	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	27	1	no	—
218	C₂×Q₈	C₂×D₂₇	1	1	yes	characteristic
219	C₂×D₄	—	27	2	no	—
220	C₂×D₄	—	27	2	no	—
221	C₂×D₄	—	27	1	no	—
222	C₂×D₄	C₂×D₂₇	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	—	27	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	27	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
226	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
227	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
228	C₄⋊C₄	—	27	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	27	1	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	27	2	no	—
234	C₂²⋊C₄	C₂×D₂₇	1	2	yes	—
235	C₂²⋊C₄	C₂×D₂₇	1	2	yes	—
236	C₄²	—	27	2	no	—
237	C₄²	—	27	1	no	—
238	C₄²	—	27	1	no	—
239	C₄²	C₂×D₂₇	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₃	C₂³×D₉	1	1	yes	characteristic
244	C₂×D₃	—	18	2	no	—
245	C₂×D₃	—	18	2	no	—
246	C₂×D₃	—	18	2	no	—
247	C₃×C₄	—	2	2	no	—
248	C₃×C₄	—	2	1	no	—
249	C₃×C₄	—	2	1	no	—
250	C₃×C₄	#3699	1	2	yes	—
251	Dic₃	—	9	2	no	—
252	Dic₃	—	18	1	no	—
253	Dic₃	—	18	2	no	—
254	Dic₃	—	18	1	no	—
255	Dic₃	—	18	1	no	—
256	C₉	#5681	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	—	27	2	no	—
258	C₂³	C₂²×D₂₇	1	2	yes	—
259	Q₈	—	2	2	no	—
260	Q₈	—	54	2	no	—
261	D₄	—	2	2	no	—
262	D₄	—	54	4	no	—
263	D₄	—	54	2	no	—
264	D₄	—	108	2	no	—
265	C₂×C₄	—	27	1	no	—
266	C₂×C₄	—	27	1	no	—
267	C₂×C₄	—	27	2	no	—
268	C₂×C₄	—	27	1	no	—
269	C₂×C₄	—	27	1	no	—
270	C₂×C₄	—	108	2	no	—
271	C₂×C₄	—	108	2	no	—
272	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂²×D₂₇	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₃	—	4	2	no	—
277	C₂×C₃	C₂×#3699	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₃	#41×D₉	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₃	#63715	1	1	yes	characteristic
280	D₃	—	36	2	no	—
281	C₂²	—	2	2	no	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	2	2	no	—
284	C₂²	—	54	2	no	—
285	C₂²	—	54	2	no	—
286	C₂²	—	54	2	no	—
287	C₂²	C₂³×D₂₇	1	1	yes	characteristic
288	C₄	—	2	2	no	—
289	C₄	—	2	1	no	—
290	C₄	—	2	1	no	—
291	C₄	—	27	2	no	—
292	C₄	—	54	1	no	—
293	C₄	—	54	2	no	—
294	C₄	—	54	1	no	—
295	C₄	—	54	1	no	—
296	C₄	#88401	1	2	yes	—
297	C₃	#10589783	1	1	yes	characteristic
298	C₂	—	4	2	no	—
299	C₂	—	108	2	no	—
300	C₂	C₂×#88401	1	1	yes	characteristic
301	C₂	#41×D₂₇	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#11720675	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂³×D₂₇
commutator, cosocle	C₂²×C₂₇	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₉	C₂³×D₃
Fitting	C₂₇×#124	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂³×D₉
prime radical	#11720189	C₂
hypercenter	#124	D₂₇
hypocenter	C₂₇	#559
LCS	G ▷ C₂²×C₂₇ ▷ C₂₇
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #124

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂₇×#124	C₂	semidirect
2. #11720196	C₂	semidirect
3. Q₈×Dic₂₇	C₂	semidirect
5. D₄×Dic₂₇	C₂	semidirect
6. #11720135	C₂	semidirect
7. #11720134	C₂	semidirect
8. #11720132	C₂	semidirect
9. #6171⋊C₄	C₂	semidirect
10. C₄×D₁₀₈	C₂	semidirect
11. C₄×Dic₅₄	C₂	semidirect
184. #124	D₂₇	semidirect
192. C₂₇	#559	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂₇×#124	2
#11720196	2
Q₈×Dic₂₇	2
#11720189	2
D₄×Dic₂₇	2
#11720135	2
#11720134	2
#11720132	2
#6171⋊C₄	2
C₄×D₁₀₈	2
C₄×Dic₅₄	2
#10589783	3