Subgroups — #13153674

Order 1728.

948 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×Q₈×3₋¹⁺²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#88724	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#63509⋊C₃	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#63508⋊C₃	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	Q₈×3₋¹⁺²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#63492⋊C₃	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	C₄×#611⋊C₃	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₃×#5817	—	3	1	no	maximal
9	#10589919	C₃	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×Q₈×3₋¹⁺²	—	2	4	no	—
11	C₂×Q₈×3₋¹⁺²	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂×Q₈×3₋¹⁺²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×3₋¹⁺²	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂×#611⋊C₃	C₂²	1	3	yes	—
15	#88724	—	2	4	no	—
16	C₂×C₄⋊AGL(1,ℤ/9)	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂×C₄×AGL(1,ℤ/9)	C₂²	1	3	yes	—
18	#3676⋊C₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	(C₂×AGL(1,ℤ/9))⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
20	(C₂×AGL(1,ℤ/9))⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
21	C₄⋊(3₋¹⁺²⋊C₄)	C₂²	1	3	yes	—
22	(3₋¹⁺²⋊C₄)⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
23	C₄×3₋¹⁺²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂²×C₃²×Q₈	D₃	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₃×#239	—	3	1	no	—
26	C₃×#947	—	3	3	no	—
27	C₃×#946	—	3	3	no	—
28	C₃×Q₈×Dic₃	—	3	1	no	—
29	C₃×#930	—	3	3	no	—
30	C₃×C₄×#67	—	3	3	no	—
31	C₂²×Q₈×C₉	—	2	1	no	—
32	C₂²×Q₈×C₉	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂×#3701	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic, complemented
34	#63509	C₂×C₃	1	3	yes	complemented
35	#63508	C₂×C₃	1	3	yes	complemented
36	Q₈×Dic₉	C₂×C₃	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#63492	C₂×C₃	1	3	yes	complemented
38	C₄×#611	C₂×C₃	1	3	yes	complemented
39	C₂³×3₋¹⁺²	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×AGL(1,ℤ/9)	C₂³	1	3	yes	—
41	Q₈×3₋¹⁺²	—	2	6	no	—
42	Q₈×3₋¹⁺²	D₄	1	4	yes	complemented
43	C₂×C₄×3₋¹⁺²	—	2	6	no	—
44	C₂×C₄×3₋¹⁺²	C₂³	1	3	yes	—
45	C₂×C₄×3₋¹⁺²	C₂³	1	3	yes	—
46	#611⋊C₃	—	2	6	no	—
47	C₂×3₋¹⁺²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×3₋¹⁺²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
49	C₂×3₋¹⁺²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₄⋊AGL(1,ℤ/9)	—	2	6	no	—
51	C₄×AGL(1,ℤ/9)	—	2	6	no	—
52	C₃×#548	—	9	1	no	—
53	#5817	—	3	1	no	—
54	C₂×C₃²×Q₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₃²×Q₈	C₂×D₃	1	3	yes	—
56	C₂×C₃²×Q₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₃²×C₄	C₂×D₃	1	3	yes	—
58	C₂×C₃×#67	—	3	3	no	—
59	C₃×#239	—	6	4	no	—
60	C₂×C₃×D₁₂	—	3	3	no	—
61	C₂×C₃×C₄×D₃	—	3	3	no	—
62	C₃×#217	—	3	1	no	—
63	C₃×(C₂×D₃)⋊C₄	—	3	3	no	—
64	C₃×(C₂×D₃)⋊C₄	—	3	6	no	—
65	C₃×C₄⋊Dic₃	—	3	3	no	—
66	C₃×Dic₃⋊C₄	—	3	3	no	—
67	C₃×C₄×Dic₃	—	3	3	no	—
68	C₂×Q₈×C₉	—	2	8	no	—
69	C₂×Q₈×C₉	—	2	3	no	—
70	C₂×Q₈×C₉	—	2	1	no	—
71	C₂×Q₈×C₉	—	2	4	no	—
72	C₂×Q₈×C₉	C₂²×C₃	1	3	yes	—
73	C₂×Q₈×C₉	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₉	—	2	3	no	—
75	C₂²×C₄×C₉	C₂²×C₃	1	3	yes	—
76	C₂×#611	C₂²×C₃	1	3	yes	—
77	#3701	—	2	4	no	—
78	C₂×D₃₆	C₂²×C₃	1	3	yes	—
79	C₂×C₄×D₉	C₂²×C₃	1	3	yes	—
80	#3676	C₂²×C₃	1	1	yes	characteristic
81	(C₂×D₉)⋊C₄	C₂²×C₃	1	3	yes	—
82	(C₂×D₉)⋊C₄	C₂²×C₃	1	6	yes	—
83	C₄⋊Dic₉	C₂²×C₃	1	3	yes	—
84	Dic₉⋊C₄	C₂²×C₃	1	3	yes	—
85	C₄×Dic₉	C₂²×C₃	1	3	yes	—
86	C₂²×3₋¹⁺²	—	2	1	no	—
87	C₂²×3₋¹⁺²	—	2	1	no	—
88	C₂²×3₋¹⁺²	#41	1	2	yes	complemented
89	C₂²×3₋¹⁺²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂×AGL(1,ℤ/9)	—	2	3	no	—
91	C₂×AGL(1,ℤ/9)	—	2	3	no	—
92	C₂×AGL(1,ℤ/9)	—	2	3	no	—
93	C₄×3₋¹⁺²	—	2	3	no	—
94	C₄×3₋¹⁺²	C₂×D₄	1	6	yes	—
95	3₋¹⁺²⋊C₄	—	2	1	no	—
96	3₋¹⁺²⋊C₄	—	2	3	no	—
97	3₋¹⁺²⋊C₄	—	2	1	no	—
98	C₂×C₃×#41	—	9	1	no	—
99	C₂²×C₃×Q₈	—	3	1	no	—
100	C₂²×C₃×Q₈	C₃×D₃	1	1	yes	characteristic
101	C₂×#239	—	3	1	no	—
102	C₃×#124	—	9	3	no	—
103	C₃×C₂²⋊Q₈	—	9	3	no	—
104	C₃×#121	—	9	3	no	—
105	C₃×C₄×Q₈	—	9	1	no	—
106	C₃×C₄×D₄	—	9	3	no	—
107	#947	—	3	3	no	—
108	#946	—	3	3	no	—
109	Q₈×Dic₃	—	3	1	no	—
110	#930	—	3	3	no	—
111	C₄×#67	—	3	3	no	—
112	C₂³×C₃²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₃×D₃	—	3	3	no	—
114	C₃²×Q₈	—	2	6	no	—
115	C₃²×Q₈	#67	1	4	yes	—
116	C₂×C₃²×C₄	—	2	6	no	—
117	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	3	yes	—
118	C₂×C₃²×C₄	C₂²×D₃	1	3	yes	—
119	C₃×#67	—	6	6	no	—
120	C₂×C₃×Dic₃	—	3	1	no	—
121	C₂×C₃×Dic₃	—	3	3	no	—
122	C₂×C₃×Dic₃	—	3	1	no	—
123	C₃×D₁₂	—	6	6	no	—
124	C₃×C₄×D₃	—	6	6	no	—
125	C₂³×C₉	—	2	1	no	—
126	C₂³×C₉	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×D₉	C₂³×C₃	1	3	yes	—
128	Q₈×C₉	—	2	12	no	—
129	Q₈×C₉	—	2	6	no	—
130	Q₈×C₉	—	2	4	no	—
131	Q₈×C₉	C₃×D₄	1	4	yes	complemented
132	C₂×C₄×C₉	—	2	12	no	—
133	C₂×C₄×C₉	—	2	6	no	—
134	C₂×C₄×C₉	—	2	3	no	—
135	C₂×C₄×C₉	—	2	3	no	—
136	C₂×C₄×C₉	C₂³×C₃	1	3	yes	—
137	C₂×C₄×C₉	C₂³×C₃	1	3	yes	—
138	#611	—	2	6	no	—
139	C₂×Dic₉	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
140	C₂×Dic₉	C₂³×C₃	1	3	yes	—
141	C₂×Dic₉	C₂³×C₃	1	1	yes	characteristic
142	D₃₆	—	2	6	no	—
143	C₄×D₉	—	2	6	no	—
144	#548	—	9	1	no	Sylow
145	C₂×3₋¹⁺²	—	2	2	no	—
146	C₂×3₋¹⁺²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×3₋¹⁺²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
148	C₂×3₋¹⁺²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
149	AGL(1,ℤ/9)	—	4	3	no	—
150	C₃×#41	—	18	4	no	—
151	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂×C₃×Q₈	—	3	1	no	—
153	C₂×C₃×Q₈	—	3	3	no	—
154	C₂×C₃×Q₈	—	6	4	no	—
155	C₂×C₃×Q₈	C₂×C₃×D₃	1	3	yes	—
156	C₂×C₃×Q₈	C₂×C₃×D₃	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₃×D₄	—	9	3	no	—
158	C₂×C₃×D₄	—	9	3	no	—
159	C₂²×C₃×C₄	—	3	3	no	—
160	C₂²×C₃×C₄	—	9	3	no	—
161	C₂²×C₃×C₄	C₂×C₃×D₃	1	3	yes	—
162	C₂×#67	—	3	3	no	—
163	#239	—	6	4	no	—
164	C₂×D₁₂	—	3	3	no	—
165	C₂×C₄×D₃	—	3	3	no	—
166	C₃×C₄⋊C₄	—	9	3	no	—
167	C₃×C₄⋊C₄	—	9	3	no	—
168	C₃×C₂²⋊C₄	—	9	3	no	—
169	C₃×C₂²⋊C₄	—	9	6	no	—
170	C₃×C₂²⋊C₄	—	9	1	no	—
171	C₃×C₄²	—	9	3	no	—
172	#217	—	3	1	no	—
173	(C₂×D₃)⋊C₄	—	3	3	no	—
174	(C₂×D₃)⋊C₄	—	3	6	no	—
175	C₄⋊Dic₃	—	3	3	no	—
176	Dic₃⋊C₄	—	3	3	no	—
177	C₄×Dic₃	—	3	3	no	—
178	C₂²×C₃²	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₃²	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₃²	#239	1	2	yes	—
181	C₂²×C₃²	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₃×D₃	—	6	3	no	—
183	C₂×C₃×D₃	—	6	3	no	—
184	C₂×C₃×D₃	—	6	3	no	—
185	C₃²×C₄	—	2	3	no	—
186	C₃²×C₄	C₂×#67	1	6	yes	—
187	C₃×Dic₃	—	6	3	no	—
188	C₃×Dic₃	—	6	1	no	—
189	C₃×Dic₃	—	6	1	no	—
190	C₂²×C₉	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₉	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₉	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₉	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₉	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₉	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₉	C₃×#41	1	2	yes	complemented
197	C₂²×C₉	C₂⁴×C₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂×D₉	—	2	3	no	—
199	C₂×D₉	—	2	3	no	—
200	C₂×D₉	—	2	3	no	—
201	C₄×C₉	—	2	6	no	—
202	C₄×C₉	—	2	3	no	—
203	C₄×C₉	—	2	6	no	—
204	C₄×C₉	C₂×C₃×D₄	1	6	yes	—
205	Dic₉	—	2	1	no	—
206	Dic₉	—	2	3	no	—
207	Dic₉	—	2	1	no	—
208	C₂×#41	—	9	1	no	—
209	C₂²×Q₈	AGL(1,ℤ/9)	1	1	yes	characteristic, complemented
210	#124	—	9	3	no	—
211	C₂²⋊Q₈	—	9	3	no	—
212	#121	—	9	3	no	—
213	C₄×Q₈	—	9	1	no	—
214	C₄×D₄	—	9	3	no	—
215	3₋¹⁺²	#548	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
216	C₂³×C₃	—	3	1	no	—
217	C₂³×C₃	—	9	3	no	—
218	C₂³×C₃	C₂²×C₃×D₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×D₃	—	3	3	no	—
220	C₃×Q₈	—	2	6	no	—
221	C₃×Q₈	—	3	4	no	—
222	C₃×Q₈	—	6	6	no	—
223	C₃×Q₈	C₃×#67	1	4	yes	—
224	C₃×D₄	—	18	6	no	—
225	C₃×D₄	—	18	6	no	—
226	C₂×C₃×C₄	—	2	6	no	—
227	C₂×C₃×C₄	—	3	3	no	—
228	C₂×C₃×C₄	—	3	3	no	—
229	C₂×C₃×C₄	—	6	6	no	—
230	C₂×C₃×C₄	—	9	1	no	—
231	C₂×C₃×C₄	—	9	3	no	—
232	C₂×C₃×C₄	—	9	1	no	—
233	C₂×C₃×C₄	—	18	6	no	—
234	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₃×D₃	1	3	yes	—
235	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₃×D₃	1	3	yes	—
236	#67	—	6	6	no	—
237	C₂×Dic₃	—	3	1	no	—
238	C₂×Dic₃	—	3	3	no	—
239	C₂×Dic₃	—	3	1	no	—
240	D₁₂	—	6	6	no	—
241	C₄×D₃	—	6	6	no	—
242	C₂×C₃²	—	2	2	no	—
243	C₂×C₃²	C₂×#239	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₃²	#1007	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₃²	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
246	C₃×D₃	—	12	3	no	—
247	C₂×C₉	—	2	4	no	—
248	C₂×C₉	—	2	2	no	—
249	C₂×C₉	—	2	1	no	—
250	C₂×C₉	—	2	1	no	—
251	C₂×C₉	—	2	1	no	—
252	C₂×C₉	C₂²×C₃×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₉	C₂×C₃×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₉	C₃×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
255	D₉	—	4	3	no	—
256	#41	—	18	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
258	C₂×Q₈	C₂×AGL(1,ℤ/9)	1	3	yes	—
259	C₂×Q₈	C₂×AGL(1,ℤ/9)	1	1	yes	characteristic
260	C₂×D₄	—	9	3	no	—
261	C₂×D₄	—	9	3	no	—
262	C₂²×C₄	—	9	3	no	—
263	C₂²×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/9)	1	3	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	9	3	no	—
265	C₄⋊C₄	—	9	3	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	9	1	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	9	3	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	9	6	no	—
269	C₄²	—	9	3	no	—
270	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
271	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
272	C₂²×C₃	—	3	1	no	—
273	C₂²×C₃	—	3	2	no	—
274	C₂²×C₃	—	6	1	no	—
275	C₂²×C₃	—	6	1	no	—
276	C₂²×C₃	—	18	3	no	—
277	C₂²×C₃	—	18	3	no	—
278	C₂²×C₃	—	18	3	no	—
279	C₂²×C₃	C₃×#239	1	2	yes	—
280	C₂²×C₃	C₂³×C₃×D₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂×D₃	—	6	3	no	—
282	C₂×D₃	—	6	3	no	—
283	C₂×D₃	—	6	3	no	—
284	C₃×C₄	—	2	3	no	—
285	C₃×C₄	—	3	6	no	—
286	C₃×C₄	—	6	3	no	—
287	C₃×C₄	—	18	1	no	—
288	C₃×C₄	—	18	3	no	—
289	C₃×C₄	—	18	1	no	—
290	C₃×C₄	C₂×C₃×#67	1	6	yes	—
291	Dic₃	—	6	3	no	—
292	Dic₃	—	6	1	no	—
293	Dic₃	—	6	1	no	—
294	C₃²	#5817	1	1	yes	characteristic
295	C₉	—	2	1	no	—
296	C₉	C₃×#548	1	1	yes	characteristic, complemented
297	C₂³	—	9	3	no	—
298	C₂³	C₂²×AGL(1,ℤ/9)	1	1	yes	characteristic
299	Q₈	—	2	6	no	—
300	Q₈	#611⋊C₃	1	4	yes	complemented
301	D₄	—	18	6	no	—
302	D₄	—	18	6	no	—
303	C₂×C₄	—	2	6	no	—
304	C₂×C₄	—	9	1	no	—
305	C₂×C₄	—	9	3	no	—
306	C₂×C₄	—	9	1	no	—
307	C₂×C₄	—	18	6	no	—
308	C₂×C₄	C₂²×AGL(1,ℤ/9)	1	3	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×AGL(1,ℤ/9)	1	3	yes	—
310	C₂×C₃	—	2	2	no	—
311	C₂×C₃	—	3	1	no	—
312	C₂×C₃	—	3	1	no	—
313	C₂×C₃	—	3	1	no	—
314	C₂×C₃	—	6	2	no	—
315	C₂×C₃	—	36	3	no	—
316	C₂×C₃	C₂×C₃×#239	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₃	C₃×#1007	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₃	C₂²×C₃×#67	1	1	yes	characteristic
319	D₃	—	12	3	no	—
320	C₂²	—	2	1	no	—
321	C₂²	—	2	1	no	—
322	C₂²	—	18	3	no	—
323	C₂²	—	18	3	no	—
324	C₂²	—	18	3	no	—
325	C₂²	#88724	1	2	yes	complemented
326	C₂²	C₂³×AGL(1,ℤ/9)	1	1	yes	characteristic
327	C₄	—	2	3	no	—
328	C₄	—	18	3	no	—
329	C₄	—	18	1	no	—
330	C₄	—	18	1	no	—
331	C₄	C₂×#611⋊C₃	1	6	yes	—
332	C₃	—	3	1	no	—
333	C₃	C₃×#5817	1	1	yes	characteristic
334	C₂	—	2	2	no	—
335	C₂	—	36	3	no	—
336	C₂	C₂×#88724	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#11722630	1	1	yes	characteristic
338	C₂	C₂²×#611⋊C₃	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂³×AGL(1,ℤ/9)
commutator, cosocle	C₂²×C₉	C₂⁴×C₃
Frattini, socle	C₂²×C₃	C₂³×C₃×D₃
Fitting	C₂²×Q₈×3₋¹⁺²	C₂
hypercenter	C₂²×Q₈	AGL(1,ℤ/9)
hypocenter	C₉	C₃×#548
LCS	G ▷ C₂²×C₉ ▷ C₉
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×Q₈×3₋¹⁺²	C₂	semidirect
2. C₂×#88724	C₂	semidirect
3. #63509⋊C₃	C₂	semidirect
4. #63508⋊C₃	C₂	semidirect
5. Q₈×3₋¹⁺²⋊C₄	C₂	semidirect
6. #63492⋊C₃	C₂	semidirect
7. C₄×#611⋊C₃	C₂	semidirect
9. #10589919	C₃	semidirect
32. C₂²×Q₈×C₉	C₂×C₃	semidirect
33. C₂×#3701	C₂×C₃	semidirect
34. #63509	C₂×C₃	semidirect
35. #63508	C₂×C₃	semidirect
36. Q₈×Dic₉	C₂×C₃	semidirect
37. #63492	C₂×C₃	semidirect
38. C₄×#611	C₂×C₃	semidirect
42. Q₈×3₋¹⁺²	D₄	semidirect
88. C₂²×3₋¹⁺²	#41	semidirect
131. Q₈×C₉	C₃×D₄	semidirect
196. C₂²×C₉	C₃×#41	semidirect
209. C₂²×Q₈	AGL(1,ℤ/9)	semidirect
215. 3₋¹⁺²	#548	semidirect
296. C₉	C₃×#548	semidirect
300. Q₈	#611⋊C₃	semidirect
325. C₂²	#88724	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×Q₈×3₋¹⁺²	2
C₂×#88724	2
#63509⋊C₃	2
#63508⋊C₃	2
Q₈×3₋¹⁺²⋊C₄	2
#63492⋊C₃	2
C₄×#611⋊C₃	2
C₃×#5817	3
#10589919	3